Question

1．平面直角坐標系xOy中，對于點P（a，b），若點P′的坐標為（a$+\frac{b}{k}$，ka+b）（其中k為常數，且k≠0），則稱點P′為點P的“k關聯點”． 
（1）求點P（-2，3）的“2關聯點”P′的坐標；
（2）若a、b為正整數，點P的“k關聯點”P′的坐標為（3，6），求出k及點P的坐標；
（3）如圖，點Q的坐標為（0，4$\sqrt{3}$），點A在函數y=-$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＜0）的圖象上運動，且點A是點B的“-$\sqrt{3}$關聯點”，當線段BQ最短時，求B點坐標．

Answer 1

分析 （1）根據題中的新定義求出點P（-2，3）的“2關聯點”P′的坐標即可；
（2）根據題中的新定義求出a與b的關系式即可；
（3）根據題意得出A（a-$\frac{b}{\sqrt{3}}$，-$\sqrt{3}$a+b），代入y=-$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＜0），求得b=$\sqrt{3}$a+2$\sqrt{3}$，從而求得B在直線y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$上，過Q作y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$的垂線QB₁，垂足為B₁，Q（0，4$\sqrt{3}$），且線段BQ最短，B₁即為所求的B點，由△MB₁Q∽△MON 得$\frac{MQ}{MN}$=$\frac{{MB}_{1}}{MO}$=$\frac{{B}_{1}Q}{ON}$，由ON=2，OM=2$\sqrt{3}$，根據勾股定理求得MN=4．由MQ=2$\sqrt{3}$，求得B₁Q=$\sqrt{3}$，MB₁=3，在Rt△MB₁Q中，根據面積公式得到B₁Q•MB₁=MQ•h_B1，即可求得B的坐標．

解答 解：（1）∵x=-2+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$，y=2×（-2）+3=-1，
∴P′（-$\frac{1}{2}$，-1）；

（2）設P（a，b），則P′（a+$\frac{b}{k}$，ka+b）
∴$\left\{\begin{array}{l}a+\frac{b}{k}=3\\ ka+b=6\end{array}\right.$，
∴k=2，
∴2a+b=6．
∵a、b為正整數
∴P′（1，4）、（2，2）；

（3）∵B的“-$\sqrt{3}$關聯點”是A，
∴A（a-$\frac{b}{\sqrt{3}}$，-$\sqrt{3}$a+b），
∵點A還在反比例函數y=-$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的圖象上，
∴（-$\sqrt{3}$a+b）（a-$\frac{b}{\sqrt{3}}$）=-4$\sqrt{3}$，
∴（b-$\sqrt{3}$a）²=12，
∵b-$\sqrt{3}$a＞0，
∴b-$\sqrt{3}$a=2$\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{3}$a+2$\sqrt{3}$；
∴B在直線y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$上．
過Q作y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$的垂線QB₁，垂足為B₁，
∵Q（0，4$\sqrt{3}$），且線段BQ最短，
∴B₁即為所求的B點，
由△MB₁Q∽△MON 得$\frac{MQ}{MN}$=$\frac{{MB}_{1}}{MO}$=$\frac{{B}_{1}Q}{ON}$，
∵ON=2，OM=2$\sqrt{3}$，
∴MN=4．
又∵MQ=2$\sqrt{3}$，
∴B₁Q=$\sqrt{3}$，MB₁=3
在Rt△MB₁Q中，B₁Q•MB₁=MQ•h_B1，
∴h_B1=$\frac{3}{2}$，
∴x_B1=$\frac{3}{2}$，
∴B（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$）．

點評 此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：一次函數的交點坐標，坐標與圖形性質，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．