Question

10．如圖，⊙O的直徑為8cm，∠B=30°，∠ACB的平分線交⊙O于D，連接AD．
（1）求BC的長；
（2）求∠CAD的度數．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得∠ACB=90°，又由⊙O的直徑為8cm，∠B=30°，即可求得答案；
（2）首先連接OD，由CD是∠ACB的角平分線，可求得∠BAD的度數，繼而求得答案．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=8cm，∠B=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=4cm，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=4$\sqrt{3}$cm；

（2）連接OD，
∵CD是∠ACB的角平分線，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=90°，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BOD=45°，
∵∠BAC=90°-∠B=60°，
∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=105°．

點評 此題考查了圓周角定理以及含30°角的直角三角形的性質．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．