Question

3．如圖，已知矩形ABCD中，點E是AD的中點，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F，連接EF，若AB=6，BC=4$\sqrt{6}$，則下列說法中正確的個數有（　　）
①△DEF≌△GEF；②GF：GB=3：2；③S_△BEF=10$\sqrt{6}$；④S_△BCF：S_△DFE=1：1．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 利用翻折不變性，根據HL可以證明Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），推出DF=FG，設DF=x，則BF=6+x，CF=6-x，在Rt△BCF中，根據勾股定理可得（4 $\sqrt{6}$）²+（6-x）²=（6+x）²，求出x即可一一判斷．

解答 解：解：∵E是AD的中點，
∴AE=DE，
∵△ABE沿BE折疊后得到△GBE，
∴AE=EG，AB=BG，
∴ED=EG，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=90°，
∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=EG}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），故①正確，
∴DF=FG，
設DF=x，則BF=6+x，CF=6-x，
在Rt△BCF中，（4 $\sqrt{6}$）²+（6-x）²=（6+x）²，
解得x=4，
∴GF：GB=4：6=2：3，故②錯誤，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$•BF•EG=$\frac{1}{2}$×10×2$\sqrt{6}$=10$\sqrt{6}$．故③正確，
∵S_△DEF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$×4=4$\sqrt{6}$，S_△CBF=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{6}$×2=4$\sqrt{6}$，
∴S_△BCF：S_△DFE=1：1．故④正確．
故選C．

點評 本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，翻折的性質，熟記性質，找出三角形全等的條件ED=EG是解題的關鍵，本題的突破點是設DF=x，則BF=6+x，CF=6-x，在Rt△BCF中根據勾股定理構建方程解決問題，屬于中考常考題型．