Question

19．如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是CB，BA延長線上的點，且BE=AF，連接DE，CF，CF交DE于點M，交AD于點H，過點E作EG⊥DE，使EG=DE，連接FG．
（1）求證：四邊形GECF是平行四邊形；
（2）若FA=2，$\frac{AH}{AD}$=$\frac{1}{4}$，求EG的長．

Answer 1

分析 （1）證明△FBC≌△ECD，得到CF=BE，∠FCB=∠EDC，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．

解答 （1）證明：∵AB=BC，BE=AF，
∴BF=CE，
在△FBC和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠FBC=∠ECD}\\{FB=EC}\end{array}\right.$，
∴△FBC≌△ECD，
∴CF=BE，∠FCB=∠EDC，
∵EG=ED，
∴CF=EG，
∵∠DEC+∠EDC=90°，
∴∠DEC+∠FCB=90°，
∴CF⊥DE，
∵EG⊥DE，
∴CF∥EG，
∴四邊形GECF是平行四邊形；
（2）解：∵$\frac{AH}{AD}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{AH}{DH}$=$\frac{1}{3}$，
∵△FAH∽△CDH，
∴$\frac{FA}{CD}$=$\frac{AH}{DH}$=$\frac{1}{3}$，
∵FA=2，
∴CD=6，
∴CE=BF=FA+AB=8，
∴EG=DE=$\sqrt{C{E}^{2}+C{D}^{2}}$=10．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵．