Question

15．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=2，點E、F分別在兩腰上，
且EF∥AD，AE：EB=2：1；
（1）求線段EF的長；
（2）設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，試用$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$表示向量$\overrightarrow{EC}$．

Answer 1

分析 （1）作BM∥CD交AD、EF于M、N兩點，將問題轉化到△ABM中，利用相似三角形的判定與性質求EN，由EF=EN+NF=EN+AD進行求解；
（2）由$\frac{BC}{AD}$=$\frac{2}{3}$、$\frac{EB}{AB}$=$\frac{1}{3}$得BC=$\frac{2}{3}$AD，EB=$\frac{1}{3}$AB，根據$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}$可得答案．

解答 解：（1）作BM∥CD交AD、EF于M、N兩點，

又AD∥BC，EF∥AD，
∴四邊形BCFN與MNFD均為平行四邊形．
∴BC=NF=MD=2，
∴AM=AD-MD=1．
又$\frac{AE}{EB}$=2，
∴$\frac{BE}{BA}$=$\frac{1}{3}$，
∵EF∥AD，
∴△BEN∽△BAM，
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{EN}{AM}$，即$\frac{1}{3}=\frac{EN}{1}$，
∴EN=$\frac{1}{3}$，
則EF=EN+NF=$\frac{7}{3}$；

（2）∵$\frac{BC}{AD}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{EB}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴BC=$\frac{2}{3}$AD，EB=$\frac{1}{3}$AB，
∴$\overrightarrow{EB}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{EB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$，
則$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$．

點評 本題主要考查了平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質及向量的運算，熟練掌握相似三角形的判定與性質得出對應邊的長度之比和向量的基本運算是解題的關鍵．