Question

10．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，P是AB邊上的一個動點．
（1）當CP平分∠ACB時，則點P到BC的距離是$\frac{4}{3}$．
（2）過點P作PQ⊥CP，PQ交邊CB于Q，設AP=x，BQ=y，則y關于x的函數關系式是y=4-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，定義域為0＜x＜2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）先根據勾股定理求出AB的長，過點P作PQ⊥BC，PE⊥AC，垂足分別為Q、E，根據CP平分∠ACB可得出PE=PQ，故可得出△PBC的面積，據此可得出結論；
（2）利用x表示出BP的長，再由PQ⊥BC可得出△BPQ∽△BAC，根據相似三角形的對應邊成比例即可得出結論．

解答 解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
過點P作PQ⊥BC，PE⊥AC，垂足分別為Q、E，
∵CP平分∠ACB，
∴PE=PQ，
∴S_△APC：S_△PBC=AC：BC=2：4=1：2，
∴S_△PBC=$\frac{2}{3}$S_△ABC=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×4=$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$BC•PQ=$\frac{8}{3}$，即$\frac{1}{2}$×4PQ=$\frac{8}{3}$，解得PQ=$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$；

（2）∵AP=x，AB=2$\sqrt{5}$，
∴BP=2$\sqrt{5}$-x．
∵PQ⊥BC，AC⊥BC，
∴PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴$\frac{BP}{AB}$=$\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{2\sqrt{5}-x}{2\sqrt{5}}$=$\frac{y}{4}$，即y=4-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x（0＜x＜2$\sqrt{5}$）．
故答案為：y=4-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，0＜x＜2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查的是勾股定理及相似三角形的判定與性質，根據題意作出輔助線，構造出相似三角形是解答此題的關鍵．