Question

如圖，拋物線             ()位于軸上方的圖象記為₁ ，它與軸交于₁ 、兩點，圖象₂與₁關于原點對稱， ₂與軸的另一個交點為₂ ，將₁與₂同時沿軸向右平移₁₂的長度即可得₃與₄ ；再將₃與₄ 同時沿軸向右平移₁₂的長度即可得₅與₆ ； ……按這樣的方式一直平移下去即可得到一系列圖象₁ ,₂  ,…… ，_n ,我們把這組圖象稱為“波浪拋物線”.

⑴ 當時，

        ① 求圖象₁的頂點坐標；

        ② 點(2014 , －3)       (填“在”或“不在”)該“波浪拋物線”上；若圖象_n 的頂點_n的橫坐標為201，則圖象_n 對應的解析式為______ ，其自變量的取值范圍為_______.

     ⑵ 設圖象_m、_m+1的頂點分別為_m 、_m+1  (m為正整數),軸上一點Q的坐標為(12 ,0).試探究：當為何值時，以、_m 、_m+1、Q四點為頂點的四邊形為矩形？并直接寫出此時m的值.

Answer 1

解析：(1)當時，

         ①，∴F₁的頂點是（-1,1)；

         ②由①知：“波浪拋物線”的值的取值范圍是-1≤≤1，

           ∴點H(2014,-3)不在“波浪拋物線”上；

           由平移知：F₂：   F₃：，…，

           ∵F_n的頂點橫坐標是201，∴F_n的解析式是：，

           此時圖象與軸的兩個交點坐標是（200,0)、(202,0),

           ∴200≤≤202 .

       (2)如下圖，取OQ的中點O′,連接T_m T_m+1 ,

                  ∵四邊形OT_mQT_m+1是矩形，

                  ∴T_m T_m+1=OQ=12, 且 T_m T_m+1 經過O′, ∴OT_m+1=6,

                  ∵F₁：

                  ∴T_m+1的縱坐標為，

                  ∴()²+1² =6² ,   ∴=± ,

                  已知＜0 ， ∴ .

          ∴當時，以以O、T_m 、T_m+1、Q四點為頂點的四邊形為矩形.

          此時m=4.