Question

17．如圖，在?ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點，∠AND=90°，連接CM交DN于點O．
（1）求證：△ABN≌△CDM；
（2）連接MN，求證四邊形MNCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，又由M、N分別是AD，BC的中點，即可利用SAS證得△ABN≌△CDM；
（2）利用直角三角形形的性質結合菱形的判定方法證明即可．

解答 解：
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，
∵M、N分別是AD，BC的中點，
∴BN=DM，
∵在△ABN和△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠B=∠CDM}\\{BN=DM}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△CDM（SAS）；

（2）證明：
∵M是AD的中點，∠AND=90°，
∴NM=AM=MD，
∵BN=NC=AM=DM，
∴NC=MN=DM，
∵NC$\stackrel{∥}{=}$DM，
∴四邊形CDMN是平行四邊形，
又∵MN=DM，
∴四邊形CDMN是菱形．

點評 此題主要考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質、菱形的判定等知識，正確應用直角三角形的性質是解題關鍵．