Question

5．如圖，射線AM上有一點(diǎn)B，AB=6，點(diǎn)C是射線AM上異于B的一點(diǎn)，過C作CD⊥AM，且CD=$\frac{4}{3}$AC，過D點(diǎn)作DE⊥AD，交射線AM于E，在射線CD取點(diǎn)F，使得CF=CB，連接AF并延長(zhǎng)，交DE于點(diǎn)G，設(shè)AC=3x．
（1）當(dāng)C在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，求AD．DF的長(zhǎng)．（用關(guān)于x的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，△AFD是等腰三角形；
（3）作點(diǎn)D關(guān)于AG的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接FD′，GD′，若四邊形DFD′G是平行四邊形，求x的值．（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）由已知條件可得：CD=4x，根據(jù)勾股定理得：AD=5x，由AB=6且C在B點(diǎn)右側(cè)，可以依次表示BC、CF、DF的長(zhǎng)；
（2）分兩種情況：
①當(dāng)C在B點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，AF=DF，②當(dāng)C在線段AB上時(shí)，又分兩種情況：i）當(dāng)CF＜CD時(shí)，如圖3，ii）當(dāng)CF＞CD時(shí)，如圖4，由AF=DF，作等腰三角形的高線FN，由等腰三角形三線合一得：AN=ND=2.5x，利用同角的三角函數(shù)列比例式可求得x的值；
（3）先根據(jù)四邊形DFD′G是平行四邊形證明它為菱形，由角的關(guān)系得：AF平分∠DAC，作輔助線，由角平分線的性質(zhì)得：FN=FC，根據(jù)第2問分兩種情況進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)同角的三角函數(shù)列式可求得x的值．

解答 解：（1）∵CD=$\frac{4}{3}AC$，AC=3x，
∴CD=4x，
∵CD⊥AM，
∴∠ACD=90°，
由勾股定理得：AD=5x，
∵AB=6，C在B點(diǎn)右側(cè)，
∴BC=AC-AB=3x-6，
∵BC=FC=3x-6，
∴DF=CD-FC=4x-（3x-6）=x+6；
（2）分兩種情況：
①當(dāng)C在B點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，
∴AC＞AB，
∴F必在線段CD上，
∵∠ACD=90°，
∴∠AFD是鈍角，若△ADF為等腰三角形，只可能AF=DF，過F作FN⊥AD于N，如圖2，
∴AN=ND=2.5x，
cos∠ADC=$\frac{DN}{DF}$=$\frac{DC}{AD}$，
$\frac{2.5x}{x+6}=\frac{4x}{5x}$，
x=$\frac{48}{17}$；
②當(dāng)C在線段AB上時(shí)，同理可知若△ADF為等腰三角形，只可能AF=DF，
i）當(dāng)CF＜CD時(shí)，過F作FN⊥AD于N，如圖3，
∵AB=6，AC=3x，
∴BC=CF=6-3x，
∴DF=4x-（6-3x）=7x-6，
cos∠ADC=$\frac{DN}{DF}=\frac{CD}{AD}$，
∴$\frac{2.5x}{7x-6}=\frac{4x}{5x}$，
x=$\frac{48}{31}$，
ii）當(dāng)CF＞CD時(shí)，如圖4，
BC=CF=6-3x，
∴FD=AD=6-3x-4x=6-7x，
則6-7x=5x，
x=$\frac{1}{2}$，
綜上所述，當(dāng)x=$\frac{48}{17}$或$\frac{48}{31}$或$\frac{1}{2}$時(shí)，△AFD是等腰三角形；
（3）∵四邊形DFD′G是平行四邊形，且DF=D′F，
∴?DFD′G是菱形，
∴DF=DG，
∴∠DFG=∠DGF，
∵∠AFC=∠DFG，
∴∠DGF=∠AFC，
∵∠ACD=∠ADG=90°，
∴∠FAC=∠DAG，
即AF平分∠DAC，
過F作FN⊥AD于N，
當(dāng)C在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，F(xiàn)N=FC=3x-6，DF=x+6，
sin∠CDA=$\frac{3x-6}{x+6}=\frac{3}{5}$，
解得：x=4，
當(dāng)C在AB邊上時(shí)，如圖5，F(xiàn)N=FC=6-3x，
DF=7x-6，
sin∠CDA=$\frac{6-3x}{7x-6}$=$\frac{3}{5}$，
x=$\frac{4}{3}$，
綜上所述，若四邊形DFD′G是平行四邊形，x的值是4或$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了平行四邊形、菱形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、同角的三角函數(shù)以及動(dòng)點(diǎn)問題，采用分類討論的思想，并參考數(shù)形結(jié)合解決問題．