Question

16．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，矩形DEFG的頂點位于△ABC的邊上，設EF=x，S_{四邊形DEFG}=y．
（1）填空：自變量x的取值范圍是0＜x＜12；
（2）求出y與x的函數表達式；
（3）請描述y隨x的變化而變化的情況．

Answer 1

分析 （1）根據題意即可得到結論；
（2）利用勾股定理和等腰三角形的三線合一求得BN、AN，再利用△ADG∽△ABC，得出比例線段，利用x表示出MN，進一步利用矩形的面積求的函數解析式；列表取值，描點畫出圖象；
（3）根據以上三種表示方式回答問題即可．

解答 解：（1）0＜x＜12；
故答案為：0＜x＜12；
（2）如圖，過點A作AN⊥BC于點N，交DG于點M，
∵AB=AC=10，BC=12，AN⊥BC，
∴BN=CN=6，AN=$\sqrt{A{B}^{2}-B{N}^{2}}$=8，
∵DG∥BC，
∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，
∴△ADG∽△ABC，
$\frac{AM}{AN}=\frac{EF}{BC}$，即$\frac{8-MN}{8}=\frac{x}{12}$，
∴MN=8-$\frac{2}{3}$x．
∴y=EF•MN=x（8-$\frac{2}{3}$x）=-$\frac{2}{3}$x²+8x=-$\frac{2}{3}$（x-6）²+24；
（3）當0＜x＜6時，y隨x的增大而增大；
當x=6時，y的值達到最大值24，
當6＜x＜12時，y隨x的增大而減小．

點評 此題考查二次函數的運用，利用相似三角形的性質、矩形的面積求得函數解析式是解決問題的關鍵．