Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，-2），B（0，4）．
（1）按照下列要求用直尺圓規(guī)畫圖：以AB為邊作等邊△ABP（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）求滿足（1）的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)C是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCA=30°時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）分別以點(diǎn)A、B為圓心，6為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)即為所求，據(jù)此可得；
（2）作PD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理可得PD、OD的長，即可得答案；
（3）以點(diǎn)P′為圓心，P′A為半徑作圓，與x軸交于點(diǎn)C，則∠BCA=30°，再根據(jù)勾股定理求得EC的長，從而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖，△ABP和△ABP′即為所求作等邊三角形；


（2）如圖，作PD⊥AB于點(diǎn)D，
∵△ABP為等邊三角形，AB=6，
∴PD=3$\sqrt{3}$，OD=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3$\sqrt{3}$，1），
同理可得點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（-3$\sqrt{3}$，1）；

（3）以點(diǎn)P′為圓心，P′A為半徑作圓，與x軸交于點(diǎn)C，則∠BCA=30°，
連接P′C，過點(diǎn)P′作P′E⊥x軸，
∵P′C=6，P′E=1，
∴EC=$\sqrt{35}$，
∴OC=$\sqrt{35}$-3$\sqrt{3}$，即點(diǎn)C坐標(biāo)為（$\sqrt{35}$-3$\sqrt{3}$，0），
同理可得點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（$\sqrt{35}$+3$\sqrt{3}$，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查等邊三角形判定與性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理等，熟練掌握圓周角定理確定點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵．