Question

2．（1）發現：如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b．
①填空：當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為a+b（用含a，b的式子表示）
（2）應用：點A為線段BC外一動點，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB、AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．
①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；
②直接寫出線段BE長的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，可得當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b；
（2）①根據等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，可得△CAD≌△EAB（SAS），根據全等三角形的性質可得CD=BE；
②根據全等三角形的性質可得，線段BE長的最大值=線段CD長的最大值，而當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，此時CD=3+1=4，可得BE=4．

解答 解：（1）如圖1，∵點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，
∴當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b．
故答案為：CB的延長線上，a+b；

（2）①CD=BE．
理由：如圖2，∵等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠CAD=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴CD=BE；

②線段BE長的最大值為4．
理由：∵線段BE長的最大值=線段CD長的最大值，
∴當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，
此時CD=3+1=4，
∴BE=4．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握等邊三角形的性質以及全等三角形的性質．解題時注意：兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．