Question

13．如圖，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC的長為5，∠ACB的平分線交⊙O于點D．
（1）求弧BC的長；
（2）求弧BD的長．

Answer 1

分析 （1）首先根據AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度數，即可求出∠BOC的度數；最后根據弧長公式，求出$\widehat{BC}$的長即可．
（2）根據∠ACB的平分線交⊙O于點D確定AD=BD，從而求得∠BOD=∠AOD=90°，最后根據弧長公式，求出$\widehat{BD}$的長即可．

解答 解：（1）如圖，連接OC，OD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
∵cos∠BAC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{5}{10}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
∴$\widehat{BC}$的長=$\frac{120π×5}{180}$=$\frac{10}{3}$π．
（2）∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，
∴∠DCA=∠BCD，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
∴∠BOD=∠AOD=90°，
∴$\widehat{BD}$的長=$\frac{90π×5}{180}$=$\frac{5}{2}$π．

點評 此題主要考查了圓周角定理，含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性質和應用，還考查了弧長的求法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是熟練掌握性質定理以及公式．