Question

12．為了測量被池塘隔開的A、B兩點之間的距離，根據實際情況，作出如圖所示的圖形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同學分別測量出以下四組數據：①BC，∠ACB；　②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．根據所測數據，能出A，B間距離的有①②③（填上所有能求出A、B間距離的序號）

Answer 1

分析 利用正切的定義可由①求出AB；利用正切的定義表示求出BD、BC，再利用CD=$\frac{x}{tan∠ADB}$-$\frac{x}{tan∠ACB}$，則求出AB，于是可對②進行判斷；利用相似三角形的判定與性質可對③④進行判斷．

解答 解：當已知BC，∠ACB：
在Rt△ABC，∵tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$，
∴AB=BCtan∠ACB；
當已知CD，∠ACB，∠ADB，設AB=x，
∵tan∠ADB=$\frac{AB}{BD}$，
∴BD=$\frac{x}{tan∠ADB}$，
∵tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$，
∴BC=$\frac{x}{tan∠ACB}$，
∴DB-BC=CD，即CD=$\frac{x}{tan∠ADB}$-$\frac{x}{tan∠ACB}$，
∴x=$\frac{CD•tan∠ACB•tan∠ADB}{tan∠ACB-tan∠ADB}$；
當已知EF，DE，BD，則證明△ABD∽△FED，所以$\frac{AB}{EF}$=$\frac{BD}{DE}$，即AB=$\frac{BD•EF}{DE}$；
當已知DE，DC，BC不能求出AB．
故答案①②③．

點評 本題考查了相似三角形的應用：常常構造“A”型或“X”型相似圖，三點應在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構造直角三角形．也考查了解直角三角形．