Question

7．為測量某特種車輛的性能，研究制定了行駛指數P，P=K+1000，而K的大小與平均速度v（km/h）和行駛路程s（km）有關（不考慮其他因素），K由兩部分的和組成，一部分與v²成正比，另一部分與sv成正比．在實驗中得到了表格中的數據：

速度v	40	60
路程s	40	70
指數P	1000	1600

（1）用含v和s的式子表示P；
（2）當行駛指數為500，而行駛路程為40時，求平均速度的值；
（3）當行駛路程為180時，若行駛指數值最大，求平均速度的值．

Answer 1

分析 （1）設K=mv²+nsv，則P=mv²+nsv+1000，待定系數法求解可得；
（2）將P=500代入（1）中解析式，解方程可得；
（3）將s=180代入解析式后，配方成頂點式可得最值情況．

解答 解：（1）設K=mv²+nsv，則P=mv²+nsv+1000，
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{4{0}^{2}•m+1600n+1000=1000}\\{6{0}^{2}•m+4200n+1000=1600}\end{array}\right.$，
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{m+n=0}\\{6m+7n=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
則P=-v²+sv+1000；

（2）根據題意得-v²+40v+1000=500，
整理得：v²-40v-500=0，
解得：v=-10（舍）或v=50，
答：平均速度為50km/h；

（3）當s=180時，P=-v²+180v+1000=-（v-90）²+9100，
∴當v=90時，P_最大=9100，
答：若行駛指數值最大，平均速度的值為90km/h．

點評 本題主要考查待定系數法求函數解析式、解二元一次方程組、解一元二次方程的能力及二次函數的性質，熟練掌握待定系數法求得函數解析式是解題的關鍵．