Question

2．設(shè)a、b、c、d、e、f、g都是大于1的整數(shù)，且a與b，c與d，e與f，g與511互質(zhì)，又a≤c，且還已知下面的三個式子成立：$\frac{b}{a}+\fracp9vv5xb5{c}=\frac{bd}{ac}$               ①
$\frac{b}{a}+\fracp9vv5xb5{c}+\frac{f}{e}=\frac{bdf}{ace}$          ②
$\frac{b}{a}+\fracp9vv5xb5{c}+\frac{f}{e}+\frac{g}{511}=\frac{bdfg}{511ace}$③
（1）求證：d=b，f=b²；
（2）求a，b，c，d，e，f，g的值．

Answer 1

分析 （1）先將①去分母，移項，整理成成$\frac{b}{b-a}=\fracp9vv5xb5{c}$，由于c與d互質(zhì)，得出d=b，c=b-a；用同樣的方法得出f=bd=b²，bd-ac=e即可得出結(jié)論；
（3）同（1）的方法得出g=bdf=f²，bdf-ace=511，即：f²-ace=511⑤，借助（1）得出的結(jié)論ac=f-e④，將④代入⑤得出關(guān)于e的一元二次方程，由于e，f是大于1的正整數(shù)，即可得出f=4，9，16，25，再分別用△是完全平方數(shù)排除點不符合題意的，最后利用得出的結(jié)論即可求出a，b，c，d，e，f，g．

解答 解：（1）①去分母得，bc+ad=bd，
∴bc=d（b-a），
∴$\frac{b}{b-a}=\fracp9vv5xb5{c}$，
∵a與b互質(zhì)，c與d互質(zhì)，
∴d=b，c=b-a；
將①整體代入②得，$\frac{bd}{ac}+\frac{f}{e}=\frac{bdf}{ace}$，
去分母，移項得，bde=bdf-acf，
∴bde=f（bd-ac），
∴$\frac{bd}{bd-ac}=\frac{f}{e}$，
∵f與e互質(zhì)，
∴f=bd=b²，bd-ac=e，
∴ac=bd-e=f-e④，
（2）由（1）知，ac=f-e④，
將②整體代入④得，$\frac{bdf}{ace}+\frac{g}{511}=\frac{bdfg}{511ace}$，
去分母，移項，分解得，511bdf=g（bdf-ace），
∴$\frac{bdf}{bdf-ace}=\frac{g}{511}$，
∵g與511互質(zhì)，
∴g=bdf=f²，bdf-ace=511，
∴f²-ace=511⑤，
將④代入⑤化簡得，e²-fe+f²-511=0，
∵e，f大于1的整數(shù)，
∴關(guān)于e的一元二次方程e²-fe+f²-511=0有實數(shù)根，
∴△=f²-4（f²-511）=2044-3f²≥0，
∴f²≤$\frac{2044}{3}$，
∵f=b²，且b，f是大于1的整數(shù)，
∴f是大于1的完全平方數(shù)，
∴f=4，9，16，25，
∵e為大于1整數(shù)，
∴△必須是完全平方數(shù)，
Ⅰ、當(dāng)f=4時，△=2044-3×16=1996，而1996不是平方數(shù)，不符合題意，舍，
Ⅱ、當(dāng)f=9時，△=2044-3×81=1801，而1801不是平方數(shù)，不符合題意，舍，
Ⅲ、當(dāng)f=16時，△=2044-3×256=1276，而1276不是平方數(shù)，不符合題意，舍，
Ⅳ、當(dāng)f=25時，△=2044-3×625=169=13²，
∴g=f²=625
∵f=b²，b=d，
∴b=d=5，
∵c=b-a，
∴a+c=5，
∵a≤c，且a、c是大于1的整數(shù)，
∴a=2，c=3，
把a=2，c=3，f=25代入ac=f-e中，得e=f-ac=25-2×3=19；
即：a=2，b=5，c=3，d=5，e=19，f=25，g=625．

點評 此題主要考查了互質(zhì)的意義，完全平方數(shù)，一元二次方程的整數(shù)解，一元二次方程根的判別式，解（1）的關(guān)鍵是得出$\frac{b}{b-a}=\fracp9vv5xb5{c}$，解（2）的關(guān)鍵是得出e²-fe+f²-511=0；整體代入是解決此題的難點；是一道難度比較大的競賽題．