Question

16．若二次函數y=a₁x²+b₁x+c₁的圖象記為C₁，其頂點為A，二次函數y=a₂x²+b₂x+c₂的圖象記為C₂，其頂點為B，且滿足點A在C₂上，點B在C₁上，則稱這兩個二次函數互為“伴侶二次函數”．
（1）寫出二次函數y=x²的一個“伴侶二次函數”；
（2）設二次函數y=x²-2x+3與y軸的交點為P，求以點P為頂點的二次函數y=x²-2x+3的“伴侶二次函數”；
（3）若二次函數y=2x²-1與其“伴侶二次函數”的頂點不重合，試求該“伴侶二次函數”的二次項系數．

Answer 1

分析 （1）根據解析式求得頂點坐標和經過的任意點的坐標，根據“伴侶二次函數”定義，設關系式為y=a（x-2）²+4，代入頂點坐標，即可求得系數a，可得答案；
（2）令x=0，則y=x²-2x+3=3，得到與y軸的交點坐標，然后求得頂點坐標，然后根據“伴侶二次函數”的定義，可求解；
（3）根據“伴侶二次函數”的頂點在對方的圖象上，列出關系式，進而得出ax²=-2h²，可得a=-2．

解答 解：（1）∵y=x²，
∴頂點坐標為（0，0）且經過點（2，4）．
設以（2，4）為頂點且經過（0，0）的拋物線的函數關系式為y=a（x-2）²+4，
將x=0，y=0代入y=a（x-2）²+4，解得a=-1．
∴二次函數y=x²的一個“伴侶二次函數”為y=-（x-2）²+4；

（2）令x=0，則y=x²-2x+3=3，
所以二次函數y=x²-2x+3與y軸的交點P坐標為（0，3）；
∵y=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴頂點坐標為（1，2）．
設以（0，3）為頂點且經過（1，2）的拋物線的函數關系式為y=ax²+3，
將x=1，y=2代入y=ax²+3，解得a=-1．
∴以點P為頂點的二次函數y=x²-2x+3的“伴侶二次函數”為y=-x²+3；

（3）y=2x²-1，其頂點為（0，-1），y=a₂（x+h）²+k，其頂點為（-h，k），
∵二次函數y₁=a₁x²+b₁x+c₁與其伴侶二次函數y₂=a₂x²+b₂x+c₂的頂點不重合，
∴h≠0時k≠-1，
根據“伴侶二次函數”定義可得-1=ah²+k，k=2h²-1，
∴ax²=-2h²
∴a=-2，
∴該“伴侶二次函數”的二次項系數為-2．

點評 本題考查了二次函數的性質，伴侶二次函數的頂點在對方的圖象上是解題關鍵．