Question

8．如圖，在平面直角坐標系中有Rt△ABC，∠CAB=90°，A（-2，0），B（0，4），點C在第二象限且tan∠ACB=2，將Rt△ABC沿平行于y軸的某條直線翻折，得Rt△A₁B₁C₁，若點B₁，C₁恰好落在反比例函數y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，則k的值等于$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 作CN⊥x軸于點N，易證△CAN∽△AOB，即可求出C的坐標，設平行于y軸的直線為x=c，用c表示出C₁和B₁，根據兩點都在反比例函數圖象上，進而求出c的值，即可求出求出k的值．

解答 解：作CN⊥x軸于點N，
∵A（-2，0）B（0，4）．
∴OB=4，AO=2，
易證△CAN∽△AOB，
∴$\frac{AN}{OB}$=$\frac{CN}{OA}$=$\frac{AC}{AB}$，
∵tan∠ACB=2，tan∠ACB=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{AN}{4}$=$\frac{CN}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴AN=2，CN=1，NO=NA+AO=4，
又∵點C在第二象限，
∴C（-4，1）；
設平行于y軸的直線為x=c，
則C₁（4+2c，1），B₁（2c，4）
又點C₁和B₁在該比例函數圖象上，
∴4+2c=8c，
解得c=$\frac{2}{3}$，
∴k=2×$\frac{2}{3}$×4=$\frac{16}{3}$，
故答案為$\frac{16}{3}$．

點評 本題主要考查了反比例函數圖象上點點坐標特征，解直角三角形以及軸對稱的性質，解答本題的關鍵是熟練掌握反比例函數的性質以及軸對稱的性質，此題難度不是很大．