Question

3．如圖1，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAC=∠DCA，
（1）試說明AB與CD的位置關系，并予以證明；
（2）如圖2，若∠ACB=∠ABC，作CE平分∠DCA交AD于E，CF平分∠ECB交AB于F，求∠ECF的度數；
（3）如圖3，若P是AB下一點，PQ平分∠BPC，PQ∥CN，CM平分∠DCP，若∠ABP=30°，下列結論：①∠DCP-∠MCN的值不變；②∠MCN的度數不變．可以證明，只有一個是正確的，請你作出正確的選擇并求值．

Answer 1

分析 （1）根據內錯角相等，兩直線平行進行證明即可；
（2）設∠DCE=∠ACE=α，則∠CAB=2α，根據∠ACB=∠ABC，可得∠ACB=90°-α，進而得到∠BCE=90°，最后根據CF平分∠ECB，可得∠ECF=$\frac{1}{2}$∠BCE=45°；
（3）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，可得∠1=∠BPC+∠ABP，再根據平行線的性質以及角平分線的定義表示出∠MCP、∠DPQ，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠NCP=∠CPQ，然后列式表示出∠MCN=$\frac{1}{2}$∠ABP，從而判定②正確．

解答 解：（1）AB∥CD．
證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠CAB，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠CAB，
∴AB∥CD；

（2）∵CE平分∠DCA，AB∥CD，
∴可設∠DCE=∠ACE=α，則∠CAB=2α，
∵∠ACB=∠ABC，
∴△ABC中，∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠CAB）=90°-α，
∴∠BCE=∠BCA+∠ECA=90°-α+α=90°，
∵CF平分∠ECB，
∴∠ECF=$\frac{1}{2}$∠BCE=45°；

（3）結論②正確．
如圖，根據三角形的外角性質可得，∠1=∠BPC+∠ABP，
∵PQ平分∠BPC，CM平分∠DCP，
∴∠CPQ=$\frac{1}{2}$∠BPC，∠MCP=$\frac{1}{2}$∠DCP．
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DCP，
∴∠MCP=$\frac{1}{2}$（∠BPC+∠ABP），
∵PQ∥CN，
∴∠NCP=∠CPQ=$\frac{1}{2}$∠BPC，
∴∠MCN=∠MCP-∠NCP=$\frac{1}{2}$（∠BPC+∠B）-$\frac{1}{2}$∠BPC=$\frac{1}{2}$∠ABP=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∴結論②∠MCN的度數不變，為15°．

點評 本題主要考查了平行線的性質，三角形外角性質以及三角形內角和定理的綜合應用，解題時注意：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形內角和是180°．