Question

14．如圖，AB是⊙O的直徑，過點B作BM⊥AB，弦CD∥BM，交AB于點F，且DA=DC，連接AC，AD，延長AD交BM于點E．
（1）求證：△ACD是等邊三角形；
（2）若AC=$\sqrt{3}$，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）由BM⊥AB，CD∥BM，得到CD⊥AB，而AB是⊙O的直徑，根據垂徑定理得到$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，于是得到AD=AC，然后根據已知DA=DC，得出AD=AC=CD，即可證明△ACD是等邊三角形；
（2）過O作ON⊥AC于N，由垂徑定理得到AN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由（1）知，△ACD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到∠CAB=30°，于是得到結論．

解答 （1）證明：∵BM⊥AB，CD∥BM，
∴AB⊥CD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，
∴AD=AC，
∵DA=DC，
∴AD=AC=CD，
∴△ACD是等邊三角形；

（2）解：過O作ON⊥AC于N，
則AN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由（1）知，△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC=60°．
∵AD=AC，CD⊥AB，
∴∠CAB=30°，
∴AO=$\frac{AN}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=1，
∴⊙O的半徑為1．

點評 本題考查的是圓的切線的性質、等邊三角形的判定、直角三角形的性質，掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵．