Question

6．如圖，已知一次函數y₁=k₁x+6與反比例函數y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$相交于A、B，與x軸交于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，已知sin∠DBC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，OC：CD=3：1．
（1）求y₁和y₂的解析式；
（2）連接OA，OB，求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）根據平行線的性質得到$\frac{BD}{OE}$=$\frac{CD}{OC}$=$\frac{1}{3}$，求出BD，根據正弦的概念求出CD、BC，利用待定系數法求出函數解析式；
（2）求出A、B的縱坐標，根據三角形的面積公式計算即可．

解答 解：（1）y₁=k₁x+6與y軸的交點E的坐標為（0，6），
∴OE=6，
∵BD⊥x軸，
∴OE∥BD，
∴$\frac{BD}{OE}$=$\frac{CD}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∴BD=2，
∵sin∠DBC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴設CD=$\sqrt{5}$x，則BC=5x，
由勾股定理得，（5x）²=（$\sqrt{5}$x）²+4，
解得，x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
則CD=$\sqrt{5}$x=1，則BC=5x=$\sqrt{5}$，
∴點B的坐標為（4，-2），
-2=k₁×4+6，
解得，k₁=-2，
則y₁=-2x+6，y₂=-$\frac{8}{x}$；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{8}{x}}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=8}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
則△AOB的面積=$\frac{1}{2}$×3×8+$\frac{1}{2}×$3×2=15．

點評 本題考查的是反比例函數與一次函數的交點問題、解直角三角形的應用，掌握待定系數法求函數解析式的一般步驟、方程組的解法是解題的關鍵．