Question

2．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB是⊙O的直徑，BC=8，AB=10，動點M在線段BC上從點C向點B運動．MN∥AB交AC于點N，四邊形CMEN關(guān)于MN對稱，△ABC與△ABD及四邊形CMEN與四邊形DPFQ都關(guān)于直線AB對稱．
（1）求四邊形ACBD的面積；
（2）若E在PQ上方（包括在PQ上），且設(shè)MN=x，△EMN和△FPQ與六邊形ANMBPQ不重疊部分的面積為S，求S與x函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)x為何值時，S有最小值，并求出S的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求出AC，求出△ABC的面積即可解決問題．
（2）①如圖1中，連接CD交MN于G，交PQ于H，交AB于L．由$\frac{1}{2}$•AB•CL=$\frac{1}{2}$•AC•BC，推出CL=$\frac{24}{5}$，由△CMN∽△CAB，可得$\frac{MN}{AB}$=$\frac{CG}{CL}$，可得$\frac{x}{10}$=$\frac{CG}{\frac{24}{5}}$，推出CG=EG=FH=DH=$\frac{12}{25}$x，如果4×$\frac{12}{25}$x=$\frac{48}{5}$，解得x=5，可得當(dāng)0＜x≤5時，S=48-4×$\frac{1}{2}$×x×$\frac{12}{25}$x=48-$\frac{24}{25}$x²．②如圖2中，當(dāng)5＜x≤$\frac{20}{3}$時，S=四邊形AMRP的面積+四邊形BNFQ的面積，由此計算即可．
（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：（1）∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，BC=8，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AC=$\frac{1}{2}$×8×6=24．
由題意可知S_{四邊形ACBD}=2•S_△ABC=48．

（2）①如圖1中，連接CD交MN于G，交PQ于H，交AB于L．

∵$\frac{1}{2}$•AB•CL=$\frac{1}{2}$•AC•BC，
∴CL=$\frac{24}{5}$，
由△CMN∽△CAB，可得$\frac{MN}{AB}$=$\frac{CG}{CL}$，
∴$\frac{x}{10}$=$\frac{CG}{\frac{24}{5}}$，
∴CG=EG=FH=DH=$\frac{12}{25}$x，
如果4×$\frac{12}{25}$x=$\frac{48}{5}$，解得x=5
∴當(dāng)0＜x≤5時，S=48-4×$\frac{1}{2}$×x×$\frac{12}{25}$x=48-$\frac{24}{25}$x²．
②如圖2中，當(dāng)5＜x≤$\frac{20}{3}$時，S=四邊形AMRP的面積+四邊形BNFQ的面積=2×$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{5}$（8-$\frac{4}{5}$x）×（$\frac{24}{5}$-$\frac{12}{25}$x）+2×$\frac{1}{2}$×$\frac{6}{5}$（6-$\frac{3}{5}$x）（$\frac{24}{5}$-$\frac{12}{25}$x）=$\frac{24}{25}$x²-$\frac{96}{5}$x+96．

綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{24}{25}{x}^{2}+48}&{（0＜x≤5）}\\{\frac{24}{25}{x}^{2}-\frac{96}{5}x+96}&{（5＜x≤\frac{20}{3}）}\end{array}\right.$．

（3）由（2）可知，當(dāng)0＜x≤5時，S=48-$\frac{24}{25}$x²．
當(dāng)x=5時，S有最小值，最小值為24．
當(dāng)5＜x≤$\frac{20}{3}$時，S=$\frac{24}{25}$x²-$\frac{96}{5}$x+96=$\frac{24}{25}$（x-10）²，
∴x=$\frac{20}{3}$時，S有最小值，最小值為$\frac{32}{3}$．
綜上所述，S的最小值為$\frac{32}{3}$．

點評 本題考查圓綜合題、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、軸對稱變換等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考壓軸題．