Question

13．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在△ABC內，BD=BC，∠DBC=60°，點E在△ABC外，∠BCE=150°，∠ABE=60°．
（1）求∠ADB的度數；
（2）判斷△ABE的形狀并加以證明；
（3）連接DE，若DE⊥BD，DE=8，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）首先證明△DBC是等邊三角形，推出∠BDC=60°，再證明△ADB≌△ADC，推出∠ADB=∠ADC即可解決問題．
（2）結論：△ABE是等邊三角形．只要證明△ABD≌△EBC即可．
（3）首先證明△DEC是含有30度角的直角三角形，求出EC的長，理由全等三角形的性質即可解決問題．

解答 （1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°，
∴△DBC是等邊三角形，
∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，
在△ADB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\\{DB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△ADC，
∴∠ADB=∠ADC，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$（360°-60°）=150°．

（2）解：結論：△ABE是等邊三角形．
理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=EB}\\{∠ADB=∠BCE=150°}\\{∠ABD=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBC，
∴AB=BE，∵∠ABE=60°，
∴△ABE是等邊三角形．

（3）解：連接DE．
∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，
∴∠DCE=90°，
∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，
∴∠EDC=30°，
∴EC=$\frac{1}{2}$DE=4，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC=4．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、30度角的直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，屬于中考常考題型．