Question

5．如圖，二次函數y=$\frac{4}{3}$x²+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（-1，0），與y軸交于點C．若點P，Q同時從A點出發，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．
（1）求該二次函數的解析式及點C的坐標；
（2）當P，Q運動t秒時，△APQ沿PQ翻折，點A恰好落在拋物線上D點處，請判定此時四邊形APDQ的形狀并求說明理由；
（3）當點P運動到B點時，點Q停止運動，這時，在x軸上是否存在點E，使得以A，E，Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請求出E點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A，B點坐標代入函數y=$\frac{4}{3}$x²+bx+c中，求得b、c，進而可求解析式及C坐標；
（2）根據P，Q運動速度相同，則△APQ運動時都為等腰三角形，根據對稱的性質得到AP=DP，AQ=DQ，求得四邊形四邊都相等，即可得到結論；
（3）等腰三角形有三種情況，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分線，畫圓易得E大致位置，設邊長為x，表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標．

解答 解：（1）∵二次函數y=$\frac{4}{3}$x²+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=\frac{4}{3}×9+3b+c}\\{0=\frac{4}{3}×1-b+c}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{8}{3}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-4．
∴C（0，-4）；

（2）四邊形APDQ為菱形，理由如下：
如圖1，D點關于PQ與A點對稱，過點Q作FQ⊥AP于F，
∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，
∴AP=AQ=QD=DP，
∴四邊形AQDP為菱形；

（3）存在．
如圖2，過點Q作QD⊥OA于D，此時QD∥OC，
∵A（3，0），B（-1，0），C（0，-4），O（0，0），
∴AB=4，OA=3，OC=4，
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵當點P運動到B點時，點Q停止運動，AB=4，
∴AQ=4．
∵QD∥OC，
∴$\frac{QD}{OD}$=$\frac{AD}{AO}=\frac{AQ}{AC}$，
∴$\frac{QD}{4}=\frac{AD}{3}=\frac{4}{5}$，
∴QD=$\frac{16}{5}$，AD=$\frac{12}{5}$．
①作AQ的垂直平分線，交AO于E，此時AE=EQ，即△AEQ為等腰三角形，
設AE=x，則EQ=x，DE=AD-AE=|$\frac{12}{5}$-x|，
∴在Rt△EDQ中，（$\frac{12}{5}$-x）²+（$\frac{16}{5}$）²=x²，解得 x=$\frac{10}{3}$，
∴OA-AE=3-$\frac{10}{3}$=-$\frac{1}{3}$，
∴E（-$\frac{1}{3}$，0），
說明點E在x軸的負半軸上；
②以Q為圓心，AQ長半徑畫圓，交x軸于E，此時QE=QA=4，
∵ED=AD=$\frac{12}{5}$，
∴AE=$\frac{24}{5}$，
∴OA-AE=3-$\frac{24}{5}$=-$\frac{9}{5}$，
∴E（-$\frac{9}{5}$，0）．
③當AE=AQ=4時，
1．當E在A點左邊時，
∵OA-AE=3-4=-1，
∴E（-1，0）．
2．當E在A點右邊時，
∵OA+AE=3+4=7，
∴E（7，0）．
綜上所述，存在滿足條件的點E，點E的坐標為（-$\frac{1}{3}$，0）或（-$\frac{9}{5}$，0）或（-1，0）或（7，0）．

點評 本題考查了拋物線解析式的求解，考查了拋物線和直線交點的求解，考查了菱形的判定和菱形各邊長相等的性質，考查了等腰直角三角形的性質，考查了平分線分線段成比例的性質，本題中用t表示點D的坐標是解題的關鍵．