Question

14．如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA=6，OC=4，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處．
（1）直接寫出點E、F的坐標；
（2）設頂點為F的拋物線交y軸于點P，且以點E、F、P為頂點的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；
（3）在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由．
（參考公式：在平面直角坐標系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則M，N兩點間的距離為|MN|=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{{y}_{1}）}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處，可以知道四邊形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=4，則CF=6-4=2，因而E、F的坐標就可以求出．
（2）頂點為F的坐標根據第一問可以求得是（2，4），因而拋物線的解析式可以設為y=a（x-2）²+4，以點E、F、P為頂點的三角形是等腰三角形，應分EF是腰和底邊兩種情況進行討論．
（3）作點E關于x軸的對稱點E′，作點F關于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M，N，則點M，N就是所求點．求出線段E′F′的長度，就是四邊形MNFE的周長的最小值．

解答 解：（1）由題意可得：E（6，2）；F（2，4）

（2）在Rt△EBF中，∠B=90°，
∴EF=$\sqrt{E{B}^{2}+B{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
設點P的坐標為（0，n），其中n＞0，
∵頂點F（2，4），
∴設拋物線解析式為y=a（x-2）²+4（a≠0）．
①如圖1，
當EF=PF時，EF²=PF²，
∴2²+（n-4）²=20．
解得n₁=0；n₂=8．
∴P（0，8）或（0，0）．
∴8=a（0-2）²+4或0=a（0-2）²+4，
解得a=1或a=-1．
∴拋物線的解析式為y=±（x-2）²+4；
②如圖2，
當EP=FP時，EP²=FP²，
∴（4-n）²+4=（2-n）²+36．
解得：n=-5，
可求得a=-$\frac{9}{4}$，
③當EF=EP時，這種情況不存在．
綜上所述，符合條件的拋物線解析式是y=±（x-1）²+2或y=-$\frac{9}{4}$（x-2）²+4；

（3）存在點M，N，使得四邊形MNFE的周長最小．
如圖3，作點E關于x軸的對稱點E′，作點F關于y軸的對稱點F′，
連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M，N，則點M，N就是所求點．
∴E′（6，-2），F′（-2，4），NF=NF′，ME=ME′．
∴BF′=8，BE′=6．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，．
又∵EF=2$\sqrt{5}$，
∴FN+MN+ME+EF=10+2$\sqrt{5}$，
此時四邊形MNFE的周長最小值是：10+2$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查了待定系數法求函數解析式以及利益軸對稱求最短路線和勾股定理等知識，注意求線段的和最小的問題基本的解決思路是根據對稱轉化為兩點之間的距離的問題．