Question

17．如圖，直角坐標系中，A（0，4），B（4，0），點M、N分別在y軸和x軸上，N點在B點右側，且AM=BN．
（1）求S_△AOB；
（2）如圖①，若點M在AO上，求證：CM=CN；
（3）如圖②，若點M在y軸負半軸上，（2）中的結論是否成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由A（0，4），B（4，0），得到OA=OB=4，根據三角形的面積公式即可得到結論；
（2）過M作MD∥X軸交AB于D，根據平行線的性質得到∠MDC=∠NBC，∠DMC=∠BNC，通過△AMD是等腰直角三角形，得到AM=MD，等量代換得到MD=BN，推出△CAM≌△CNB（ASA），根據全等三角形的性質即可得到結論；
（3）過M作MF⊥Y軸交AB的延長線于F，則MF∥X軸，根據平行線的性質得到∠BNC=∠FMC，∠NBC=∠F，根據△AMF是等腰直角三角形，得到AM=MF，等量代換得到MF=BN，推出△BNC≌△FMC，根據全等三角形的性質得到結論．

解答 解：（1）∵A（0，4），B（4，0），
∴OA=OB=4，
∴S△OAB=$\frac{1}{2}$•OA•OB=8；

（2）如圖①，過M作MD∥X軸交AB于D，
∴∠MDC=∠NBC，∠DMC=∠BNC，
∵∠OAB=45°，
∴△AMD是等腰直角三角形，
∴AM=MD，
∵AM=BN，
∴MD=BN，
在△CAM與△CNB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MDC=∠CBN}\\{∠DMC=∠CNB}\\{MD=BN}\end{array}\right.$，
∴△CAM≌△CNB（ASA），
∴CM=CN；

（3）CM=CN成立；
理由：如圖②，過M作MF⊥Y軸交AB的延長線于F，則MF∥X軸，
∴∠BNC=∠FMC，∠NBC=∠F，
∵∠OAB=45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM=MF，
∵AM=BN，
∴MF=BN，
在△BNC與△FMC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BNC=∠FMC}\\{∠NBC=∠F}\\{MF=BN}\end{array}\right.$，
∴△BNC≌△FMC，
∴CM=CN．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，坐標與圖形的性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．