Question

10．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標是（4，0），并且OA=OC=4OB，動點P在過A、B、C三點的拋物線l上，
（1）求拋物線l的解析式；
（2）過動點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求點P的坐標；
（3）若拋物線l上有且只有三個點到直線AC的距離為n，求出n的值．

Answer 1

分析 （1）根據OA=OC=4OB，可得B、C點坐標，根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據矩形的性質，可得EF與OD的關系，根據垂線段的性質，可得DF是中位線，根據中位線的性質，可得DF的長，根據自變量與函數值的對應關系，可得P點坐標；
（3）根據平行線間的距離相等，可得PP₁∥BC∥P₂E，根據一元二次方程有兩個相等的實數根，可得k的值，根據線段的和差，可得CE的長，根據勾股定理，可得n的值．

解答 解：（1）由A（4，0），可知OA=4．
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），B（-1，0）．
設拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
則拋物線的解析式是：y=-x²+3x+4；
（2）如圖1，
連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．
根據垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，
則AC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
根據等腰三角形的性質，D是AC的中點．
又∵DF∥OC，
∴DF=$\frac{1}{2}$OC=2，
∴點P的縱坐標是2，
當y=2時，-x²+3x+4=2，
解得x₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，
即P₁（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，2），P₂（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，2）；
（3）如圖2，
CD⊥DE于E，PP₁∥BC∥P₂E，且P到BC的距離是n，P₂到BC的距離是n，
P₂E的解析式為y=-x+k，
聯立P₂E與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+k}\\{y=-{x}^{2}+3x+4}\end{array}\right.$，
化簡，得
x²-4x+k-4=0．方程有相等的兩實根，得
△=（-4）²-4（k-4）=0，解得k=8，
P₂E的解析式為y=-x+8，
當x=0時，y=8，即E（0，8）；
CE=8-4=4，
等腰直角三角形CDE中，由勾股定理，得
CD²+DE²=CE²，
2CD²=16，
CD=2$\sqrt{2}$，
P到CD的距離n=2$\sqrt{2}$．
若拋物線l上有且只有三個點到直線AC的距離為n，n的值為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用待定系數法求函數解析式；利用矩形的性質得出OD=EF是解題關鍵，又利用了三角形中位線的性質；利用平行線間的距離相等得出直線DE的解析式是解題關鍵．