Question

1．已知拋物線y=ax²+x+c與x軸交于點A（1，0），B，與y軸交于點C（0，-$\frac{3}{2}$），拋物線的頂點為D，
（1）求拋物線的解析式及點B，D的坐標；
（2）設點P為拋物線上的一點，若△PBC為直角三角形，求點P的坐標；
（3）若點Q為x軸上一點，當△OCD與△BCQ相似時，求點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法，可得函數解析式；根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；
（2）根據勾股定理的逆定理，可得答案；
（3）根據正切函數，可得∠DOC=∠CBQ，根據相似三角形的判定，可得答案．

解答 解：（1）將A，C點的坐標代入函數解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a+1+c=0}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$，
當y=0時，$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=0，
解得x₁=1（不符合題意，舍），x₂=-3，
B點坐標為（-3，0），
-$\frac{2a}$=-1，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=-2，
即D點坐標為（-1，-2）；
（2）設P（m，$\frac{1}{2}$m²+m-$\frac{3}{2}$），B（-3，0）C（0，-$\frac{3}{2}$），
PB²=（m+3）²+（$\frac{1}{2}$m²+m-$\frac{3}{2}$）²，PC²=m²+（$\frac{1}{2}$m²+m）²，BC²=（-3）²+（$\frac{3}{2}$）²，
①當∠B=90°時，PB²+BC²=PC²，即（m+3）²+（$\frac{1}{2}$m²+m-$\frac{3}{2}$）²+（-3）²+（$\frac{3}{2}$）²=m²+（$\frac{1}{2}$m²+m）²，
化簡，得m²-6m-18=0，解得m₁=6，m₂=-3（不符合題意，舍），即P（6，$\frac{45}{2}$），
②當∠P=90°時，PB²+PC²=BC²，即（m+3）²+（$\frac{1}{2}$m²+m-$\frac{3}{2}$）²+m²+（$\frac{1}{2}$m²+m）²=（-3）²+（$\frac{3}{2}$）²，
   方程無解；
③當∠C=90°時，BC²+PC²=PB²，即（m+3）²+（$\frac{1}{2}$m²+m-$\frac{3}{2}$）²=m²+（$\frac{1}{2}$m²+m）²+（-3）²+（$\frac{3}{2}$）²，
     化簡，得3m²-6m=0，
解得m₁=0（不符合題意，舍）m₂=2，即P（2，$\frac{5}{2}$），
綜上所述：若△PBC為直角三角形，點P的坐標（6，$\frac{45}{2}$），（2，$\frac{5}{2}$）；
（3）由勾股定理，得
BC=$\sqrt{{3}^{2}+（-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，OD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
tanB=$\frac{\frac{3}{2}}{3}$=$\frac{1}{2}$，tanO=$\frac{1}{2}$，
設BP=x，
△CBP∽△DOC時，$\frac{BC}{DO}$=$\frac{BP}{OC}$，即$\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{x}{\frac{1}{2}}$，
解得x=$\frac{\sqrt{65}}{20}$，
P（$\frac{\sqrt{65}-60}{20}$，0）；
△CBP∽△COD，$\frac{BP}{OD}$=$\frac{BC}{OC}$，$\frac{x}{\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}}{\frac{1}{2}}$，
解得x=$\sqrt{65}$，
P（$\sqrt{65}$-3，0），
綜上所述：P點坐標為（$\sqrt{65}$-3，0），（$\frac{\sqrt{65}-60}{20}$，0）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，解（1）的關鍵是待定系數法；解（2）的關鍵是利用勾股定理的逆定理得出方程，要分類討論，以防遺漏；解（3）的關鍵是利用相似三角形的對應邊成比例得出方程是解題的關鍵，要分類討論，以防遺漏．