Question

7．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，AF平分∠DAE，EF⊥AE，則CF等于3．

Answer 1

分析 根據矩形的對邊相等可得AD=BC，角平分線的定義可得∠DAF=∠EAF，然后利用“角角邊”證明△ADF和△AEF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AD=AE，EF=DF，利用勾股定理列式求出BE，再求出CE，設CF=x，表示出EF，然后利用勾股定理列方程求解即可．

解答 解：矩形ABCD中，AD=BC=10，∠D=90°，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF=∠EAF，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠D，
在△ADF和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠EAF}\\{∠AEF=∠D}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△AEF（AAS），
∴AD=AE=10，EF=DF，
在Rt△ABE中，根據勾股定理得，BE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴CE=BC-BE=10-6=4，
設CF=x，則EF=DF=CD-CF=8-x，
在Rt△CEF中，根據勾股定理得，CE²+CF²=EF²，
即4²+x²=（8-x）²，
解得x=3，
即CF=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了矩形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，此類題目，利用勾股定理列出方程是解題的關鍵，也是難點．