Question

16．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若點P從點A出發，以每秒2cm的速度沿折線A-C-B向點B運動，設運動時間為t秒（t＞0）
（1）在AC上是否存在點P，使得PA=PB？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；
（2）若點P恰好在△ABC的角平分線上，請求出t的值，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據線段垂直平分線的性質得到PA=PB，從而分別表示出PC、BC、BP的長，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）當點P在頂點處時就是在角平分線上，然后再分點P在AC和∠ABC的角平分線的交點處和點P在BC和∠BAC的角平分線的交點處利用相似三角形列式求得t值即可．

解答 解：（1）如圖1，設存在點P，使得PA=PB，
此時PA=PB=2t，PC=4-2t，
在Rt△PCB中，
PC²+CB²=PB²，
即：（4-2t）²+3²=（2t）²，
解得：t=$\frac{25}{16}$，
∴當t=$\frac{25}{16}$時，PA=PB；
（2）當點P在點C或點B處時，一定在△ABC的角平分線上，
此時t=2或t=3.5秒；
當點P在∠ABC的角平分線上時，作PM⊥AB于點M，如圖2，
此時AP=2t，PC=PM=4-2t，
∵△APM∽△ABC，
∴AP：AB=PM：BC，
即：2t：5=（4-2t）：3，
解得：t=$\frac{5}{4}$；
當點P在∠CAB的平分線上時，作PN⊥AB，如圖3，
此時BP=7-2t，PN=PC=（2t-4），
∵△BPN∽△BAC，
∴BP：BA=PN：AC，
即：（7-2t）：5=（2t-4）：4，
解得：t=$\frac{8}{3}$，
綜上，當t=2s或3.5s或$\frac{8}{3}$s或$\frac{5}{4}$s時，點P在△ABC的角平分線上．

點評 本題考查了勾股定理、線段垂直平分線的性質以及角平分線的性質；本題有一定難度，特別是題目的第二問，采用了分類討論的數學思想，特別是點P與點C和點B重合時的情況很容易遺漏，應該注意．