Question

1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M分別為AB和PE的中點，AD∥PC，且AD=PC
（1）如圖①，若CA=CB，請寫出與線段DE相關的三個結論
（2）如圖②，在Rt△ABC中，若∠CAB=30°，猜想DE與AC之間的數量關系和所在直線的位置關系，并說明理由
（3）如圖③，改變點P的位置，且$\frac{BC}{AC}$=$\frac{5}{9}$，請你根據已知條件在圖③中將圖形補充完整，并直接寫出DE與AC之間的數量關系和所在直線的位置關系，不必說明理由．

Answer 1

分析 （1）先連接AE，BP，BE，CD，構造平行四邊形AEBP，平行四邊形ADCP，進而得出四邊形BCDE是平行四邊形，即可得到DE∥BC，DE=BC，再根據CA=CB，∠ACB=90°，即可得出DE⊥AC，DE=AC；
（2）先連接AE，BP，BE，CD，構造平行四邊形AEBP，平行四邊形ADCP，進而得出四邊形BCDE是平行四邊形，即可得到DE∥BC，DE=BC，再根據Rt△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=90°，即可得到AC=$\sqrt{3}$BC，AC⊥BC，進而得出AC=$\sqrt{3}$DE，AC⊥DE；
（3）先連接AE，BP，BE，CD，構造平行四邊形AEBP，平行四邊形ADCP，進而得出四邊形BCDE是平行四邊形，即可得到DE∥BC，DE=BC，再根據Rt△ABC中，$\frac{BC}{AC}$=$\frac{5}{9}$，∠ACB=90°，即可得出BC=$\frac{5}{9}$AC，BC⊥AC，進而得到DE=$\frac{5}{9}$AC，DE⊥AC．

解答 解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC，DE=AC．（答案不唯一）
理由：如圖，連接AE，BP，BE，CD，
∵M分別為AB和PE的中點，
∴四邊形AEBP是平行四邊形，
∴AP∥BE，AP=BE，
又∵AD∥PC，AD=PC，
∴四邊形ADCP是平行四邊形，
∴CD=AP，CD∥AP，
∴CD=BE，CD∥BE，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，
∴DE∥BC，DE=BC，
又∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴DE⊥AC，DE=AC；

（2）$\sqrt{3}$DE=AC，DE⊥AC．
理由：如圖，連接AE，BP，BE，CD，
∵M分別為AB和PE的中點，
∴四邊形AEBP是平行四邊形，
∴AP∥BE，AP=BE，
又∵AD∥PC，AD=PC，
∴四邊形ADCP是平行四邊形，
∴CD=AP，CD∥AP，
∴CD=BE，CD∥BE，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，
∴DE∥BC，DE=BC，
又∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{3}$BC，AC⊥BC，
∴AC=$\sqrt{3}$DE，AC⊥DE；

（3）DE=$\frac{5}{9}$AC，DE⊥AC．
理由：如圖，連接AE，BP，BE，CD，
∵M分別為AB和PE的中點，
∴四邊形AEBP是平行四邊形，
∴AP∥BE，AP=BE，
又∵AD∥PC，AD=PC，
∴四邊形ADCP是平行四邊形，
∴CD=AP，CD∥AP，
∴CD=BE，CD∥BE，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，
∴DE∥BC，DE=BC，
又∵在Rt△ABC中，$\frac{BC}{AC}$=$\frac{5}{9}$，∠ACB=90°，
∴BC=$\frac{5}{9}$AC，BC⊥AC，
∴DE=$\frac{5}{9}$AC，DE⊥AC．

點評 本題屬于相似形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，含30°角的直角三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造平行四邊形，依據平行四邊形的對邊平行且相等進行推導．解題時注意：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．