Question

2．某商品專營店購進一批進價為16元/件的商品，銷售一段時間后，為了獲得更多利潤，商店決定提高銷售價格，經試驗發現，若每件按20元的價格銷售時，每月能賣360件；若每件每漲1元，每天少賣10件；設銷售價格為x（元/件）時，每天銷售y（件），日總利潤為W元．物價局規定：此類商品的售價不得低于進價，又不得高于進價的3倍銷售，即16≤x≤48．
（利潤=售價-進價，或總利潤=單間利潤×總銷售件數）
（1）售價25元/件時，日銷量310件，日總利潤為2790元；
（2）求y與x之間的關系式；
（3）求W與x之間的關系式，問銷售價格為多少時，才能使每日獲得最大利潤？日最大利潤是多少？
（4）商店為減少庫存，在保證日利潤3000元的前題條件下，商店該以多少元/件銷售．

Answer 1

分析 （1）根據每件按20元的價格銷售時，每月能賣360件；若每件每漲1元，每天少賣10件，即可求出日銷量以及總利潤；
（2）利用日銷量=360-超過20的錢數×10，進而得出答案；
（3）利用W=y（x-16）進而得出y與x之間的關系，進而求出最值；
（4）利用在保證日利潤3000元的前題條件下，則W=3000，進而解方程求出答案．

解答 解：（1）售價25元/件時，日銷量為：360-（25-20）×10=310（件），
日總潤為：310×（25-16）=2790（元）．
故答案為：310，2790；

（2）由題意可得：y=360-10（x-20）=-10x+560；

（3）由題意可得：
W=y（x-16）
=（x-16）（-10x+560）
=-10x²+720x-8960
=-10（x-36）²+4000，
∴x=36時，W_最大=4000（x=36在16≤x≤48的范圍內）
∴售價為36元/件時，日獲利最大，最大利潤為4000元；

（4）由（3）知 W=-10（x-36）²+4000
∴3000=-10（x-36）²+4000，
解得：x₁=26，x₂=46（x₁，x₂均在16≤x≤48范圍內），
∵y=-10x+560，
∵-10＜0，由一次函數性質可知，x越小，銷量y越大，庫存越小，
即售價為26元/件時，庫存小，同時每天能獲利3000元．

點評 此題主要考查了二次函數的應用以及一元二次方程的解法，正確得出W與x之間的關系是解題關鍵．