Question

5．關于x的一元二次方程x²-（k-1）x-k-1=0
（1）求證：無論x取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）若方程的兩根為x₁、x₂，是否存在這樣的k值，使方程的兩根的平方和為2，若存在，求出這樣的k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出△，再根據(jù)△的值判斷即可；
（2）假設x₁²+x₂²=2，變形后代入，得出關于k的方程，求出即可．

解答 （1）證明：x²-（k-1）x-k-1=0，
△=[-（k-1）]²-4（-k-1）=k²+2k+5=（k+1）²+4＞0，
所以無論x取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）解：不存在這樣的k值，使方程的兩根的平方和為2，
理由是：假設存在，
根據(jù)根與系數(shù)的關系得：x₁+x₂=k-1，x₁•x₂=-k-1，
x₁²+x₂²=2，
由方程的兩根的平方和為2得：（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=2，
（k-1）²-2（-k-1）=2，
解得：k²+1=0，
不論k為何值，k²永遠不能為-1，
所以不存在這樣的k值，使方程的兩根的平方和為2．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關系，根的判別式等知識點，能熟記根與系數(shù)的關系和根的判別式的內容是解此題的關鍵．