Question

5．已知點A（m，m+1）和拋物線y=x²-2mx+m²+m-1上的動點P，其中m是常數，則線段AP的最小值是$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 根據點P在拋物線y=x²-2mx+m²+m-1上，設p點坐標為P（a，a²-2ma+m²+m-1），表示出AP²，根據二次函數的最值問題得出AP的最小值即可．

解答 解：設P點坐標為P（a，a²-2ma+m²+m-1），
AP²=（m-a）²+[a²-2ma+m²+m-1-（m+1）]²
=（m-a）²+[（m-a）²-2]²
令（m-a）²=t（t≥0）
則有AP²=t+（t-2）²=t²-3t+4=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
所以，當t=$\frac{3}{2}$ 時，AP²有最小值 $\frac{7}{4}$，
所以AP=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
故答案為$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

點評 本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，設出點P坐標得到關于t的二次函數是解題的關鍵．