Question

15．如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別為B、C，設AB=4，DC=1，BC=4．
（1）求線段AD的長．
（2）在線段BC上是否存在點P，使△APD是等腰三角形？若存在，求出線段BP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過D作DE⊥AB于E點，根據(jù)勾股定理求出AD即可；
（2）分為三種情況：AP=AD或PA=PD，根據(jù)勾股定理求出BP即可．

解答 解：（1）如圖1，過D作DE⊥AB于E點，

AE=4-1=3，DE=BC=4，
在Rt△AED中，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=5；
（2）如圖2，

當AP=AD時，
在Rt△ABP中，BP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{B}^{2}}$=3；
如圖3，

當PA=PD時，
AB²+BP²=CD²+（BC-BP）²，即4²+BP²=1²+（4-BP）²，
解得BP=$\frac{1}{8}$．
綜上所述，線段BP的長是3或$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質的應用，能求出符合條件的所有情況是解此題的關鍵，用了分類討論思想．