Question

5．如圖，矩形OABC中，OA=10，OC=5，將其沿對角線OB對折，點C落到點C′處，以點O為坐標原點，OA、OC所在直線為坐標軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．
（1）直接寫出點A、C、C′的坐標；
（2）求過A、C、C′三點的拋物線y=ax²+bx+c的解析式．
（3）點M是拋物線上C′A段上的一個動點，橫坐標為m，過點M作MD⊥x軸交對角線OB于點D，順次連接C′、M、A、D四點，試判斷：當C′D+AD的值最小時，四邊形C′MAD的面積S的值是否最大？若是，求出此時m的值；若不是，分別求出：當C′D+AD的值最小時和四邊形C′MAD的面積S的值最大時m的值．

Answer 1

分析 （1）求出直線OB、CC′的解析式，構建方程組求出交點K的坐標，再利用中點坐標公式，求出點C′的坐標．
（2）把A、C、C′三點坐標代入的拋物線y=ax²+bx+c的解析式得$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{100a+10b+c=0}\\{16a+4b+c=-3}\end{array}\right.$，解方程組即可解決問題．
（3）不是．①如圖2中，連接AC交OB于D，連接DC′．此時DC′+AD最小，求出點D坐標即可．
②如圖3中，設OA交BC′于G，DN交AC′于N．首先證明AC∥OB，推出△ADC′的面積為定值，所以△AC′M的面積最大時，四邊形C′MAD的面積S的值最大，構建二次函數，即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵OA=10，OC=5，四邊形ABCD是矩形，
∴OA=BC=10，AB=OC=5，
∴A（10，0），C（0，5），B（10，5），
∴直線OB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
∵C、C′關于OB對稱，設CC′交OB于K，
∴CC′⊥OB，
∴直線CC′的解析式為y=-2x+5，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-2x+5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴K（2，1），
∵K是C、C′中點，
∴C′（4，-3）．
∴A（10，0），C（0，5），C′（4，-3）．

（2）把A、C、C′三點坐標代入的拋物線y=ax²+bx+c的解析式得$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{100a+10b+c=0}\\{16a+4b+c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-3}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-3x+5．

（3）不是．
①如圖2中，連接AC交OB于D，連接DC′．此時DC′+AD最小，

∵OD=DB，
∴D（5，$\frac{5}{2}$），
∵DM⊥x軸，
∴D、M的橫坐標相同，
∴m=5．

②如圖3中，設OA交BC′于G，DN交AC′于N．

∵△OBC′是由△OBC翻折得到，
∴∠CBO=∠OBC′，
∵BC∥OA，
∴∠CBO=∠BOA=∠OBC′，
∴OG=BG，
∵OA=BC=BC′，
∴AG=GC′，
∴∠GAC′=∠GC′A，
∵∠OGB=∠AGC′，
∴∠BOA=∠OAC′，
∴BO∥AC′，
∴△ADC′的面積不變，
∴△AC′M的面積最大時，四邊形C′MAD的面積S的值最大，
∵直線AC′的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-5，
∵M（m，$\frac{1}{4}$m²-3m+5），
∴N（m，$\frac{1}{2}$m-5），
∴S_△AC′M=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$m-5-$\frac{1}{4}$m²+3m-5）•6=-$\frac{3}{4}$（m-7）²+$\frac{27}{4}$，
∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴m=7時，△AC′M的面積最大值．
∴m=7時，四邊形C′MAD的面積S的值最大．

點評 本題考查二次函數綜合題、待定系數法、三角形的面積、一次函數的應用等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會構建一次函數，利用方程組求交點坐標，學會構建二次函數利用二次函數的性質解決問題，屬于中考壓軸題．