Question

10．（1）如圖1，將含30°的三角板DFF的直角頂點D放置在含45°的直角三角板ABC的斜邊AC的中點位置上，兩直角邊分別交AB、BC于M、N，利用三角形的全等，發現DM與DN數量關系是DM=DN；若AB=5，BM=x，BN=y，y與x的函數關系式為：y=5-x；
（2）若將三角板DEF繞頂點D旋轉，兩直角邊分別與AB、BC的延長線交于M、N，如圖2，（1）中的DM與DN數量關系是否改變？并說明理由；
（3）若將三角板DEF的頂點D從中點處沿CA方向平移、旋轉至△ADB≌△CND，如圖3，其余條件不變，求證：BM=BN．

Answer 1

分析 （1）根據△ABC是等腰直角三角形，且D是AC的中點，得出△BDM≌△CDN（ASA），即可得到DM=DN，且BM=CN，再根據BN+CN=BN+BM=5，即可得到y+x=5；
（2）根據△ABC是等腰直角三角形，且D是AC的中點，證明出△BDM≌△CDN（ASA），即可得到DM=DN；
（3）根據△ADB≌△CND，得到AB=CD，∠ABD=∠CDN，AD=CN，再根據△BDC是等腰三角形，求得∠ABD的度數，進而得到∠CDN的度數，最后根據∠MDN是直角，求得∠ADM=∠AMD=67.5°，即可得到AD=AM=CN，據此得出結論BM=BN．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，且D是AC的中點，
∴BD=$\frac{1}{2}$AC=CD，BD⊥AC，∠DBM=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°=∠C，
又∵∠MDN=90°，
∴∠BDM+∠BDN=90°=∠CDN+∠BDN，
∴∠BDM=∠CDN，
在△BDM和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠C}\\{BD=CD}\\{∠BDM=∠CDN}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CDN（ASA），
∴DM=DN，且BM=CN，
∵AB=BC=5，
∴BN+CN=BN+BM=5，
即y+x=5，
∴y與x的函數關系式為y=5-x；
故答案為：DM=DN；y=5-x；

（2）DM與DN數量關系不變．
理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，且D是AC的中點，
∴BD=$\frac{1}{2}$AC=CD，BD⊥AC，∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°=∠ACB，
∴∠DBM=∠DCN=135°，
又∵∠MDN=90°，
∴∠BDM+∠MDC=90°=∠CDN+∠MDC，
∴∠BDM=∠CDN，
在△BDM和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠DCN}\\{DB=DC}\\{∠BDM=∠CDN}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CDN（ASA），
∴DM=DN；

（3）證明：∵△ADB≌△CND，
∴AB=CD，∠ABD=∠CDN，AD=CN，
∵AB=BC，
∴CD=CB，
∵∠C=45°，
∴∠DBC=67.5°，
∴∠ABD=90°-67.5°=22.5°，
∴∠CDN=22.5°，
∵∠MDN=90°，
∴∠ADM=180°-90°-22.5°=67.5°，
又∵∠A=45°，
∴△ADM中，∠AMD=67.5°，
∴∠ADM=∠AMD，
∴AD=AM，
∴CN=AM，
∵AB=BC，
∴BM=BN．

點評 本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質以及三角形內角和定理的綜合應用，解決問題的關鍵是根據ASA判定△BDM≌△CDN，據此得出對應邊相等．解題時注意：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．