Question

19．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=5，點E在AD邊上，EF⊥BC，垂足為F，點M在AB邊上，BM=1，沿過點M的直線折疊該紙片，使點A落在線段EF上的點A′處，折痕為MN，點N在AD邊上．
（1）畫出折痕MN；（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法）
（2）當BF=1.8時，求折痕MN的長；
（3）寫出折痕MN的條數與對應的BF的長度之間的關系．

Answer 1

分析 （1）以M為圓心，MA長為半徑畫弧，交EF于A'，作∠AMA'的角平分線，交AD于N，連接NA'，MA'，則MN是折痕；
（2）過點M作MH⊥EF于H，得出BF=MH=AE=1.8，BM=GF=1，EG=AM=3，根據勾股定理求得A'G，再設AN=x，則NE=1.8-x，NA'=x，在Rt△A'EN中，根據勾股定理得到（1.8-x）²+0.6²=x²，求得AN的長，最后根據勾股定理求得MN的長即可；
（3）分情況討論即可，當BF＜2$\sqrt{2}$時，有一條折痕；當2$\sqrt{2}$≤BF＜3時，有兩條折痕；當BF=3時，有一條折痕；當BF＞3時，無折痕．

解答 解：（1）如圖所示，折痕MN即為所求；


（2）過點M作MG⊥EF于G，則BF=MG=AE=1.8，BM=GF=1，EG=AM=3，

由折疊得，MA'=MA=3，
∴Rt△MA'G中，A'G=$\sqrt{{3}^{2}-1．{8}^{2}}$=2.4，
∴EA'=3-2.4=0.6，
設AN=x，則NE=1.8-x，NA'=x，
∴Rt△A'EN中，（1.8-x）²+0.6²=x²，
解得x=1，
∴AN=1，
∴Rt△AMN中，MN=$\sqrt{A{M}^{2}+A{N}^{2}}$=$\sqrt{10}$；

（3）連接MF，
因為當MF=MA'=3時，Rt△BMF中，BF=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{1}}$=2$\sqrt{2}$，

故當BF＜2$\sqrt{2}$時，有一條折痕；
因為當MA'⊥EF時，BF=MA'=3，
故當2$\sqrt{2}$≤BF＜3時，有兩條折痕；
當BF=3時，有一條折痕；
當BF＞3時，無折痕．

點評 本題主要考查了矩形的性質以及折疊的性質，解題時注意：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．