Question

1．已知如圖（1）△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB、AC于E、F．
①圖中有幾個等腰三角形？且EF與BE、CF間有怎樣的關系？（不證明）
②若AB≠AC，其他條件不變，如圖（2），圖中還有等腰三角形嗎？如果有，請分別指出它們．另第①問中EF與BE、CF間的關系還存在嗎？若存在請給出證明．
③若△ABC中，AB≠AC，∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如圖（3），這時圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF間的關系如何？為什么（要證明你的結論）？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)EF∥BC，∠B、∠C的平分線交于O點，可得∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，再加上題目中給出的AB=AC，共5個等腰三角形；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得出EF與BE、CF間有怎樣的關系；
（2）根據(jù)EF∥BC 和∠B、∠C的平分線交于O點，還可以證明出△OBE和△OCF是等腰三角形；利用幾個等腰三角形的性質(zhì)，即可得出EF與BE，CF的關系；
（3）EO∥BC和OB，OC分別是∠ABC與∠ACL的角平分線，還可以證明出△BEO和△CFO是等腰三角形，利用幾個等腰三角形的性質(zhì)以及線段的和差關系，即可得出EF與BE，CF的關系．

解答 解：（1）有5個等腰三角形，EF與BE、CF間有怎樣的關系是：EF=BE+CF．
理由如下：如圖1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴BE=OE，OF=CF，
∴△ABC，△AEF，△BOC，△BEO，△CFO是等腰三角形；
如圖1，∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
又∠B、∠C的平分線交于O點，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，
∴OE=BE，OF=CF，
∴EF=OE+OF=BE+CF．
又AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC，
∴EF=BE+CF=2BE=2CF；

（2）有2個等腰三角形，分別是：等腰△OBE和等腰△OCF；第（1）問中的關系EF=BE+CF仍成立．
理由：如圖2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△BEO和△CFO是等腰三角形；
∵BE=OE，CF=OF，
∴EF=EO+FO=BE+CF；

（3）有2個等腰三角形：△EBO，△OCF，EF與BE，CF的關系為：EF=BE-CF，
理由如下：如圖3，∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCD，
又∵OB，OC分別是∠ABC與∠ACD的角平分線，
∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCD，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE，
∠FCO=∠FOC，
∴CF=FO，
又∵EO=EF+FO，
∴EF=BE-CF．

點評 此題屬于三角形綜合題，主要考查學生對等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線性質(zhì)的理解和掌握，解題時注意：第（1）中容易忽略△ABC也是等腰三角形，因此這又是一道易錯題．進行線段的等量代換是正確解答本題的關鍵．