Question

13．在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，點P從點A出發沿AB邊以1cm/s的速度向點B移動，同時，點Q從點B出發沿BC以2cm、s的速度向點C移動，其中一點到達終點時，另一點隨之停止運功．設運動時間為t秒：
（1）如圖1，幾秒后，△DPQ的面積等于21cm²？
（2）在運動過程中，若以P為圓心的⊙P同時與直線AD、BD相切（如圖2），求t值；
（3）若以Q為圓心，PQ為半徑作⊙Q．
①在運動過程中，是否存在t值，使得點D落在⊙Q上？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由；
②若⊙Q與四邊形CDPQ有三個公共點，則t的取值范圍為0＜t＜4．（直接寫出結果，不需說理）

Answer 1

分析 （1）由題意可知PA=t，BQ=2t，從而得到PB=6-t，BQ=2t，QC=8-2t，然后依據△DPQ的面積等于21cm²列方程求解即可；
（2）如圖1所示：連結PE．依據勾股定理可求得BD的長，然后依據切線長定理可知DE=AD=8，從而可求得BE的長，由圓的半徑相等可知PE=AP=t，然后再Rt△PEB中依據勾股定理列方程求解即可；
（3）①如圖2所示：先用含t的式子表示出BP、BQ、CQ的長，然后依據DC²+CQ²=PB²+QB²列出關于t的方程，從而可求得t的值；②當t=0時，⊙Q與四邊形DPQC有兩個公共點，由①可知當t=4時，⊙Q與四邊形DPQC有兩個公共點，從而可確定出t的取值范圍．

解答 解：（1）∵當運動時間為t秒時，PA=t，BQ=2t，
∴PB=6-t，BQ=2t，CQ=8-2t．
∵△DPQ的面積等于21cm²，
∴6×8-$\frac{1}{2}$×8×t-$\frac{1}{2}$（6-t）•2t-$\frac{1}{2}$×6×（8-2t）=21．
整理得：t²-4t+3=0，解得t=1或t=3．
答：當t為1秒或3秒時，△DPQ的面積等于21cm²．

（2）如圖1所示：連結PE．

∵⊙P分別與AD、BD相切，
∴PE⊥BD，AD=DE=8．
在Rt△ABD中，依據勾股定理可知BD=10．
∴BE=BD-DE=2．
∵AP=PE，
∴PE=t，PB=6-t．
在Rt△PEB中，依據勾股定理可知：（6-t）²=t²+2²，解得：t=$\frac{8}{3}$．

（3）①如圖2所示：

∵PA=t，BQ=2t，
∴PB=6-t，CQ=8-2t．
∵點D在⊙Q上，
∴QD=PQ．
∴DC²+CQ²=PB²+QB²，即6²+（8-2t）²=（2t）²+（6-t）²．
整理得：t²+20t-64=0．解得t=4或t=16（舍去）．
所以當t=4時，點D落在⊙Q上．
②（Ⅰ）當t=0時，如圖3所示：

⊙Q與四邊形DPQC有兩個公共點；
（Ⅱ）如圖4所示：當圓Q經過點D時，⊙Q與四邊形DPQC有兩個公共點．

由①可知此時t=4．
∴當0＜t＜4時，⊙Q與四邊形CDPQ有三個公共點．
故答案為：0＜t＜4．

點評 本題主要考查的是主要考查的是圓的綜合應用，解答本題主要應用了三角形的面積公式、切線長定理、勾股定理、圓的性質，依據題意列出關于t的方程是解題的關鍵．