Question

16．如圖1，在矩形ABCD中，BC=4cm．點P與點Q同時從點C出發，點P沿CB向點B以2cm/s的速度運動，點Q沿CD向點D以1cm/s的速度運動，當點P與點Q其中一點到達終點時，另一點也停止運動．設運動時間為t秒，順次連接A，B，P，Q，A得到的封閉圖形面積為S cm²．

（1）當AB=m cm時，S與t的函數圖象為拋物線的一部分（如圖2），求S與t的函數關系式及m的值，并直接寫出t的取值范圍；
（2）當AB=6cm時，探究：此時S與t的函數圖象可以由（1）中函數圖象怎樣變換得到？

Answer 1

分析 （1）設S與t的函數關系式為頂點式：S=a（t-1）²+5，代入點E（2，4）求出a=-1，得出S與t的函數關系式，得出t的取值范圍，由△ABC的面積即可求出m的值（2）由圖1可知：S=矩形ABCD的面積-△ADQ的面積-△CPQ的面積，即可得出函數關系式，即可得出所求．

解答 解：（1）∵拋物線的頂點坐標為（1，5），
∴可設S與t的函數關系式為S=a（t-1）²+5，
代入點E（2，4）得：a（2-1）²+5=4，
解得：a=-1．
∴S=-（t-1）²+5，即S=-t²+2t+4；
t的取值范圍為0≤t≤2．  
由關系式得：F（0，4）．
∴當t=0時，S=4，即△ABC的面積為4．
∴$\frac{1}{2}$AB•BC=4．
∴m=2．  
（2）當AB=6cm時，
由圖1可知：S=矩形ABCD的面積-△ADQ的面積-△CPQ的面積=4×6-$\frac{1}{2}$×4×（6-t）-$\frac{1}{2}$×2t×t=-t²+2t+12，即S=-（t-1）²+13，
t的取值范圍為0≤t≤2．
∴S與t的函數圖象可以由（1）中函數圖象向上平移8個單位得到．

點評 本題考查了動點問題的函數圖象、矩形的性質、函數解析式的求法以及三角形面積的計算；求出函數解析式是解決問題的關鍵．