Question

6．如圖，射線OC以∠AOB的邊OB為始邊進行逆時針旋轉，作OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，在射線OC旋轉過程中，試探究∠DOE與∠BOC的大小關系．
（1）當∠AOB=90°，∠BOC=60°時，則∠DOE=45度．
（2）設∠AOB=90°，∠BOC=n．
①當0＜n＜90°時，在射線OC旋轉過程中，∠DOE的大小是否發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，請求出∠DOE的度數；
②當90°＜n＜360°時，在射線OC旋轉過程中，∠DOE的大小是否發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，請求出∠DOE的度數；
（3）設∠AOB=a，∠BOC=n，其中0＜a＜180°，在射線OC旋轉過程中，請直接寫出∠DOE的度數（可用含有a，n的代數式表示）

Answer 1

分析 （1）根據角平分線的定義，OD、OE分別平分∠AOC和∠BOC，則可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE=∠COE+∠COD；
（2）①結合角的特點，∠DOE=∠DOC+∠COE，求得結果進行判斷和計算；②分三種情況討論：當90°＜n≤180°時，當180°＜n≤270°時，當270°＜n＜360°，分別求得∠DOE的度數；
（3）根據（2）中方法進行分類討論，即可得出∠DOE的度數．

解答 解：（1）∵OD、OE分別平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠COB=30°，∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=15°，
∴∠DOE=∠COE+∠COD=45°；
故答案為：45°；

（2）①∠DOE的大小不變，等于45°，
理由：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE
=$\frac{1}{2}$∠BOC+$\frac{1}{2}$∠AOC
=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOC）
=$\frac{1}{2}$∠AOB
=$\frac{1}{2}$×90°
=45°；
②分三種情況：
當90°＜n≤180°時，∠DOE的大小不變，等于45°，
理由：如圖所示，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠COE-∠DOC
=$\frac{1}{2}$∠BOC-$\frac{1}{2}$∠AOC
=$\frac{1}{2}$（∠BOC-∠AOC）
=$\frac{1}{2}$∠AOB
=$\frac{1}{2}$×90°
=45°；
當180°＜n≤270°時，∠DOE的大小不變，等于135°，
理由：如圖所示，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠COE+∠DOC
=$\frac{1}{2}$∠BOC+$\frac{1}{2}$∠AOC
=$\frac{1}{2}$（∠BOC+∠AOC）
=$\frac{1}{2}$（360°-∠AOB）
=$\frac{1}{2}$×270°
=135°；
當270°＜n＜360°時，∠DOE的大小不變，等于45°，
理由：如圖所示，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠DOC-∠COE
=$\frac{1}{2}$∠AOC-$\frac{1}{2}$∠BOC
=$\frac{1}{2}$（∠AOC-∠BOC）
=$\frac{1}{2}$∠AOB
=$\frac{1}{2}$×90°
=45°；

（3）在射線OC旋轉過程中，∠DOE的度數為$\frac{1}{2}$a或180°-$\frac{1}{2}$a．
理由：當0＜n≤180°時，∠DOE=$\frac{1}{2}$a；
當180°＜n≤180°+a時，∠DOE=180°-$\frac{1}{2}$a；
當180°+a＜n＜360°時，∠DOE=$\frac{1}{2}$a；
綜上所述，∠DOE的度數為$\frac{1}{2}$a或180°-$\frac{1}{2}$a．

點評 本題主要考查了角的和差關系的運用以及角平分線的定義的運用，即從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．解決問題的關鍵是畫出圖形進行分類討論，分類時注意不能遺漏，也不能重復．