Question

16．已知二次函數y₁=ax²+bx+c的圖象可以由二次函數y₂=-2x²的圖象平移得到且經過點（2，-10）和（0，6）．
（1）求二次函數y₁的表達式，并寫出此函數圖象頂點D的坐標；
（2）求二次函數y₁=ax²+bx+c的圖象與x軸交點坐標；
（3）若ax²+bx+c=k有兩個不相等的實數根，則寫出k的取值范圍為k＜8；
（4）若m≤x≤m+4時，-10≤y₁≤8，則m的值為-4或-2．

Answer 1

分析 （1）由二次函數y₁=ax²+bx+c的圖象可以由二次函數y₂=-2x²的圖象平移得到，得到a=-2，將（2，-10）和（0，6）代入y₁=ax²+bx+c得方程組，于是得到結論；
（2）令y=0，則-2x²-4x+6=0，解方程即可得到結論；
（3）由-2x²-4x+6=k有兩個不相等的實數根，得到不等式即可得到結論；
（4）根據題意列不等式即可得到結論．

解答 解：（1）∵二次函數y₁=ax²+bx+c的圖象可以由二次函數y₂=-2x²的圖象平移得到，
∴a=-2，
將（2，-10）和（0，6）代入y₁=ax²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-8+2b+c=-10}\\{c=6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴y₁=-2x²-4x+6；
（2）令y=0，則-2x²-4x+6=0，解得：x₁=1，x₂=-3，
∴二次函數y₁=-2x²-4x+6的圖象與x軸交點坐標為（1，0），（-3，0）；
（3）∵-2x²-4x+6=k有兩個不相等的實數根，
∴△=（-4）²-4×（-2）×（6-k）＞0，
∴k＜8；
故答案為：k＜8；
（4）∵-10≤y₁≤8，
∴-10≤-2x²-4x+6≤8，
當-10≤-2x²-4x+6時，解得：-4≤x≤2，
∵m≤x≤m+4，
∴m=-4，或m=-2，
當-2x²-4x+6≤8時，不符合m≤x≤m+4．
∴m=-4，或m=-2．
故答案為：-4或-2．

點評 本題考查了二次函數與x軸的交點，一元二次方程根的判別式，解不等式，根據題意列不等式是解題的關鍵．