Question

9．如圖1，在平面直角坐標系中，直線y=k₁x與雙曲線y=$\frac{{k}_{2}}{x}$相交于點A（2，1）與點E，AB⊥x軸，垂足為點B．
（1）求直線y=k₁x與雙曲線y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的表達式；
（2）根據圖象直接寫出不等式k₁x＞$\frac{{k}_{2}}{x}$的解集：-2＜x＜0或x＞2；
（3）如圖2，點P（x，0）是x軸正半軸上的一個動點，過點P的直線l⊥x軸，分別與直線y=k₁x、雙曲線y=$\frac{{k}_{2}}{x}$交于點C，D，連接AD．
①當點P在線段OB上（不與點O，B重合時），設△ACD的面積為S，求S與x的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
②在坐標平面內是否存在點Q，使得以A，B，C，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點Q的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A點坐標分別代入兩個函數可求得結論；
（2）根據圖象直接得出不等式k₁x＞$\frac{{k}_{2}}{x}$的解集；
（3）①如圖2，表示出CD=$\frac{2}{x}-\frac{1}{2}x$，PB=2-x，代入面積公式可求得S與x的函數關系式，并根據OB=2，寫出x的取值；
②分三種情況：
i）當AB為對角線時，此時CQ與AB互相垂直平分，
根據中點坐標公式得：C（1，$\frac{1}{2}$），Q（3，$\frac{1}{2}$）；
ii）當AC為對角線時，此時過B作AC的垂線與AC交于點F，易得△ABF∽△AOB，由相似比可求得AF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，AC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，由兩點之間的距離可求得C（$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{5}$），Q（$\frac{6}{5}$，$\frac{8}{5}$）；
iii）當BC為對角線時，則AC=1，由兩點的距離公式可求得C有兩個值，根據橫坐標不變，縱坐標減1可得此時對應的Q的坐標．

解答 解：（1）把A（2，1）代入y=k₁x中得：
2k₁=1，
k₁=$\frac{1}{2}$，
∴直線的表達式為：y=$\frac{1}{2}$x；
把A（2，1）代入y=$\frac{{k}_{2}}{x}$中得：
1=$\frac{{k}_{2}}{2}$，k₂=2，
∴雙曲線的表達式為：y=$\frac{2}{x}$；
（2）如圖1，∵點A（2，1），
∴E（-2，-1），
由圖象得不等式k₁x＞$\frac{{k}_{2}}{x}$的解集：-2＜x＜0或x＞2，
故答案為：-2＜x＜0或x＞2；
（3）①如圖2，∵P（x，0），
∴D（x，$\frac{2}{x}$），C（x，$\frac{1}{2}$x），
∴CD=$\frac{2}{x}-\frac{1}{2}x$，PB=2-x，
∴S=$\frac{1}{2}$CD•PB=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{x}-\frac{1}{2}x$）（2-x）=$\frac{1}{4}{x}^{2}$-$\frac{1}{2}x$+$\frac{2}{x}$-1（0＜x≤2）；
②分三種情況：
i）如圖3，當AB為對角線時，此時CQ與AB互相垂直平分，
根據中點坐標公式得：C（1，$\frac{1}{2}$），Q（3，$\frac{1}{2}$）；
ii）如圖4，當AC為對角線時，此時過B作AC的垂線與AC交于點F，
∵∠AFB=∠ABO=90°，∠BAF=∠BAO，
∴△ABF∽△AOB，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{AO}$，
∴$\frac{AF}{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴AF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，AC=2AF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵C（x，$\frac{1}{2}$x），A（2，1），
由兩點之間的距離得：AC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+（\frac{1}{2}x-1）^{2}}$，
25x²-100x+84=0
（5x-6）（5x-14）=0
x₁=$\frac{6}{5}$，x₂=$\frac{14}{5}$＞2（舍去），
∴OP=$\frac{6}{5}$，PC=$\frac{3}{5}$，PQ=PC+CQ=$\frac{3}{5}$+1=$\frac{8}{5}$，
則C（$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{5}$），Q（$\frac{6}{5}$，$\frac{8}{5}$）；
iii）如圖5，當BC為對角線時，則AC=AB=1，
∵C（x，$\frac{1}{2}$x），A（2，1），
由兩點之間的距離得：AC=1=$\sqrt{（x-2）^{2}+（\frac{1}{2}x-1）^{2}}$，
x₁=2-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，x₂=2+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴C₁$（2-\frac{2\sqrt{5}}{5}，1-\frac{\sqrt{5}}{5}）$，此時對應的Q（2-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）；
C₂$（2+\frac{2\sqrt{5}}{5}，1+\frac{\sqrt{5}}{5}）$，此時對應的Q（2+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）；
綜上所述，點Q的坐標為：（3，$\frac{1}{2}$）或（$\frac{6}{5}$，$\frac{8}{5}$）或（2-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）或（2+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）．

點評 本題是一次函數和反比例函數的綜合題，考查了利用待定系數法求一次函數和反比例函數的解析式、交點問題與不等式解集的關系、兩點的距離、菱形的性質和判定，采用分類討論的思想，第二問利用數形結合直接找出不等式的解集．