Question

18．如圖①、②、③中，點E、D分別是正△ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且BE=CD，DB交AE于P點．

（1）分別求圖①，圖②和圖③中，∠APD的度數．
（2）根據前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況？若能，寫出推廣問題和結論；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質得出AB=BC，∠ABC=∠C=60°，證△ABE≌△BCD，推出∠BAE=∠CBD，根據三角形的外角性質推出∠APD=∠BAE+∠ABD=∠ABC=60°，同理其它情況也是∠APD等于其中一個角；
（2）正四邊形時，同樣能推出∠APD=∠ABC=90°，正五邊形時，∠APD=∠ABC=$\frac{（5-2）×180°}{5}$=108°，正六邊形時，∠APD=∠ABC=$\frac{（6-2）×180°}{6}$=120°，依此類推得出正n邊形時，∠APD=∠ABC=$\frac{（n-2）×180°}{n}$．

解答 解：（1）正三角形時，∠APD=60°，正四邊形時，∠APD=90°，證五邊形時，∠APD=108°，
證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
∵在△ABE和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠C}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠BAE=∠CBD，
∴∠APD=∠BAE+∠ABD=∠CBD+∠ABD=∠ABC=60°，
即∠APD=60°；

（2）推廣問題和結論：點E，D分別是正n邊形ABCM …中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且BE=CD，BD與AE交于點P，則∠APD的度數；
解：由（1）的結論得，正四邊形時，同樣能推出∠APD=∠ABC=90°，
正五邊形時，∠APD=∠ABC=$\frac{（5-2）×180°}{5}$=108°，
正六邊形時，∠APD=∠ABC=$\frac{（6-2）×180°}{6}$=120°，
依此類推得出正n邊形時，∠APD=∠ABC=$\frac{（n-2）×180°}{n}$．

點評 本題考查了等邊三角形性質，全等三角形的性質和判定，正方形性質等知識點的應用，主要考查學生的推理能力和理解能力，能根據題意得出規律是解此題的關鍵．