Question

8．閱讀下列材料：
按照一定順序排列著的一列數稱為數列，排在第一位的數稱為第1項，記為a₁，依此類推，排在第n位的數稱為第n項，記為a_n．
一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：數列1，3，9，27，…為等比數列，其中a₁=1，公比為q=3．
然后解決下列問題．
（1）等比數列3，6，12，…的公比q為2，第4項是24．
（2）如果已知一個等比數列的第一項（設為a₁）和公比（設為q），則根據定義我們可依次寫出這個數列的每一項：a₁，a₁q，a₁•q²，a₁•q³，…．由此可得第n項a_n=a₁•q^n-1（用a₁和q的代數式表示）．
（3）若一等比數列的公比q=2，第2項是10，求它的第1項與第4項．
（4）已知一等比數列的第3項為12，第6項為96，求這個等比數列的第10項．

Answer 1

分析 （1）根據等比數列的定義可得；
（2）由數列中的每一項等于首項乘以公比的序數減一次方可得；
（3）根據定義先求得首項，再根據通項公式即可得；
（4）根據通項公式得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=12}\\{{a}_{1}{q}^{5}=96}\end{array}\right.$，求得首項和公比，繼而根據通項公式可得答案．

解答 解：（1）根據題意知公比q=6÷3=2，第4項是12×2=24，
故答案為：2，24；

（2）根據定義我們可依次寫出這個數列的每一項：a₁，a₁q，a₁•q²，a₁•q³，…．由此可得第n項a_n=a₁•q^n-1，
故答案為：a₁•q^n-1；

（3）根據題意知，第1項為10÷2=5，第4項為5×2³=40；

（4）根據題意知$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=12}\\{{a}_{1}{q}^{5}=96}\end{array}\right.$，
∴q³=8，即q=2，
則a₁=3，
∴這個等比數列的第10項為3×2⁹=1536．

點評 本題主要考查數字的變化規(guī)律，熟練掌握等比數列的定義及其通項公式是解題的關鍵．