Question

16．問題探究
（1）如圖①，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外做等邊△ABE和等邊△ACD，連結BD，CE．請你完成圖形；（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）問的基礎上探索BD與CE的數量關系，并說明理由；
（3）如圖②要測量池塘兩岸相對兩點B、D的距離，已測得∠ABC=45°，∠CAD=90°，AC=AD，AB=2BC=60米．請根據以上條件求出BD的長．

Answer 1

分析 （1）根據題意畫出相應圖形，分別以點A，B為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧的交點即為點E，連接AE、BE，△ABE為等邊三角形；
（2）由等邊三角形的性質得到AE=AB，AD=AC，且∠BAE=∠CAD=60°，得出∠BAD=∠EAC，利用SAS得到△ABD與△AEC全等，利用全等三角形的對應邊相等得到BD=CE；
（3）以AB為腰作等腰直角△ABE，連接CE，由等腰直角三角形的性質得出∠ABE=45°，BE=$\sqrt{2}$AB=60$\sqrt{2}$，證出∠EBC=90°，由勾股定理求出CE=90，同（2）得：△ABD≌△AEC，由全等三角形的性質即可得出BD=CE=90（米）．

解答 解：（1）如圖①所示：
（2）BD=CE；理由如下：
∵△ABE和△ACD都為等邊三角形，
∴AE=AB，AC=AD，∠BAE=∠CAD=60°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠CAB，
即∠EAC=∠BAD，
在△ABD和△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}&{\;}\\{∠BAD=∠EAC}&{\;}\\{AD=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴BD=CE；
（3）以AB為腰作等腰直角△ABE，連接CE，如圖所示：
則∠ABE=45°，BE=$\sqrt{2}$AB=60$\sqrt{2}$，
∵∠ABC=45°，
∴∠EBC=45°+45°=90°，
∵AB=2BC=60，∈BC=30，
∴CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（60\sqrt{2}）^{2}+3{0}^{2}}$=90，
同（2）得：△ABD≌△AEC，
∴BD=CE=90（米）．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理等知識；熟練掌握等邊三角形和等腰直角三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．