Question

19．四邊形ABCD中，∠BAC=∠BDC=90°，AB=AC，BD=2，DC=4，則AD=3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 過B作BF⊥AD于F，過C作CE⊥AD于E，得到∠AEC=∠AFB=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAF=∠ACE，推出△ABF≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE=AF，AE=BF，由∠BAC=∠BDC=90°，得到A，B，C，D四點共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=∠ADC=45°，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：過B作BF⊥AD于F，過C作CE⊥AD于E，
∴∠AEC=∠AFB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF+∠CAE=∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠BAF=∠ACE，
在△ABF與△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠AEC}\\{∠ACE=∠BAF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACE，
∴CE=AF，AE=BF，
∵∠BAC=∠BDC=90°，
∴A，B，C，D四點共圓，
∴∠ADB=∠ADC=45°，
∴BF=DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{2}$，CE=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=2$\sqrt{2}$，
∴AD=AE+DE=BF+CE=3$\sqrt{2}$．
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點共圓，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．