Question

6．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，其中A（2，0）C（0，4），反比例函數y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k＞0）的圖象與矩形的對角線AC有公共點，并且交AB邊于點E，交BC邊于點F，以下結論：①直線AC的解析式為y=-2x+4；②EF∥AC；③當反比例函數圖象與線段AC只有一個公共點時，k值最大，最大值為2；④△BEF面積的最小值為2．則下列選項中，正確的是（　　）

• A． ②③④
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①由點A、B的坐標利用待定系數法即可求出直線AC的解析式，①成立；②由反比例函數圖象上點的坐標特征求出點E、F的坐標，根據$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{8-k}{8}$，即可得出EF∥AC，②成立；③設反比例函數圖象與AC的交點為D，過D作DM⊥x軸于點M，過點D作DN⊥y軸于點N，設OM=x（0＜x＜2），則ON=4-2x，根據反比例函數圖象上點的坐標特征即可得出k=-2（x-1）²+2≥2，由此可得出k的最小值，再將直線AC解析式代入反比例函數解析式整理出一元二次方程，通過解方程組即可得出此時反比例函數圖象與線段AC只有一個公共點，③成立；④根據三角形的面積公式結合k的取值范圍即可得出S_△BEF≥$\frac{9}{4}$，④不成立．綜上即可得出結論．

解答 解：①設直線AC的解析式為y=ax+b，
將A（2，0）、B（0，4）代入y=ax+b，
$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-2x+4，①成立；
②當x=2時，y=$\frac{k}{x}$=$\frac{k}{2}$，
∴點E（2，$\frac{k}{2}$）；
當y=$\frac{k}{x}$=4時，x=$\frac{k}{4}$，
∴點F（$\frac{k}{4}$，4）．
∵四邊形OABC為矩形，其中A（2，0）C（0，4），
∴點B（2，4），
∴BC=2，BA=4，BF=2-$\frac{k}{4}$=$\frac{8-k}{4}$，BE=4-$\frac{k}{2}$=$\frac{8-k}{2}$，
∴$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{8-k}{8}$，
∴EF∥AC，②成立；
③設反比例函數圖象與AC的交點為D，過D作DM⊥x軸于點M，過點D作DN⊥y軸于點N，如圖所示．
設OM=x（0＜x＜2），則ON=4-2x，
∴k=x（4-2x）=-2（x-1）²+2，
當x=1時，k取最大值，最大值為2．
將y=-2x+4代入y=$\frac{2}{x}$中，整理得：x²-2x+1=（x-1）²=0，
∴當反比例函數圖象與線段AC只有一個公共點時，k值最大，最大值為2，③成立；
④∵S_△BEF=$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{（8-k）^{2}}{16}$≥$\frac{9}{4}$，
∴△BEF面積的最小值為$\frac{9}{4}$，④不成立．
故選D．

點評 本題考查了矩形的性質、反比例函數圖象上點的坐標特征以及三角形的面積，逐一分析四條結論的正確與否是解題的關鍵．