Question

15．如圖，直線y=-x+b（b＞0）與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于A、B兩點(diǎn)，連接OA、OB，AM⊥y軸于M，BN⊥x軸于N，現(xiàn)有以下結(jié)論：
①OA=OB；②△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，則S_△AOB=k；④當(dāng)AB=$\sqrt{2}$時(shí)，AM=BN=1．其中結(jié)論正確的是①②③．

Answer 1

分析 ②設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出x₁•y₁=x₂•y₂=k，將y=-x+b代入y=$\frac{k}{x}$中，整理后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出x₁•x₂=k，從而得出x₂=y₁、x₁=y₂，即ON=OM、AM=BN，利用全等三角形的判定定理SAS即可證出△AOM≌△BON，②正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出OA=OB，①正確；③作OH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)即可得出∠AOH=∠BOH=22.5°、∠AOM=∠BON=22.5°，由相等的邊角關(guān)系利用全等三角形的判定定理AAS即可證出△AOM≌△AOH，同理即可得出△AOM≌△AOH≌△BON≌△BOH，再利用反比例系數(shù)k的幾何意義即可得出S_△AOB=k，③正確；④延長(zhǎng)MA、NB交于G點(diǎn)，由NG=OM=ON=MG、BN=AM可得出GB=GA，進(jìn)而得出△ABG為等腰直角三角形，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)以及AB=$\sqrt{2}$即可得出GA、GB的長(zhǎng)度，由OM、ON的值不確定故無(wú)法得出AM、BN的值，④錯(cuò)誤．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：②設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵點(diǎn)A、B在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴x₁•y₁=x₂•y₂=k．
將y=-x+b代入y=$\frac{k}{x}$中，整理得：x²-bx+k=0，
∴x₁•x₂=k，
又∵x₁•y₁=k，
∴x₂=y₁，x₁=y₂，
∴ON=OM，AM=BN．
在△OMA和△ONB中，$\left\{\begin{array}{l}{OM=ON}\\{∠OMA=∠ONB}\\{AM=BN}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△BON（SAS），②正確；
①∵△AOM≌△BON，
∴OA=OB，
∴①OA=OB，②△AOM≌△BON，正確；
③作OH⊥AB于點(diǎn)H，如圖1所示．
∵OA=OB，∠AOB=45°，△AOM≌△BON，
∴∠AOH=∠BOH=22.5°，∠AOM=∠BON=22.5°．
在△AOM和△AOH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OMA=∠OHA=90°}\\{∠AOM=∠AOH=22.5°}\\{OA=OA}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△AOH（AAS），
同理：△BON≌△BOH，
∴△AOM≌△AOH≌△BON≌△BOH，
∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$k=k，③正確；
④延長(zhǎng)MA、NB交于G點(diǎn)，如圖2所示．
∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG為等腰直角三角形，
當(dāng)AB=$\sqrt{2}$時(shí)，GA=GB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=1，
∵OM、ON不確定，
∴無(wú)法得出AM=AN=1，④錯(cuò)誤．
綜上所述：結(jié)論正確的是①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及反比例系數(shù)k的幾何意義，逐一分析四個(gè)結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵．